Примеры решения задач

Задача 1. Один моль идеального двухатомного газа, занимающий объем = 12,3 л под давлением = 2 атм, нагревается при постоянном объеме до = 3 атм. Затем газ расширяется при постоянном давлении до = 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объема. Определить: 1) температуру точек цикла; 2) термический коэффициент полезного действия цикла.

Д ано:

 = 1 моль

= 12,3 л = 1,23 м³

= 2 атм = 2 Па

= 3 атм = 3 Па

= 24,6 л = 2,46 м³

R = 8,31

Перед решением задачи необходимо:

1) начертить график цикла в координатах р,V;

2) на графике отметить параметры состояния газа в каждой точке; выделить известные параметры.

Решение

Из анализа условий задачи видно, что в каждой из точек 1, 2, 3, 4 температура может быть определена из уравнения состояния газа.

Но рациональнее пользоваться уравнениями соответствующих процессов.

1)

Подставляя данные, получаем

К = 290 К; = 290 К.

2) Процесс 1 - 2, = сonst – изохорный.

К = 435 К; = 435 К.

3) 2 - 3 – процесс изобарный, = сonst.

К = 870 К; = 870 К.

4) Процесс 3 - 4 изохорное охлаждение, = const.

К = 580 К; К.

5) Коэффициент полезного действия цикла

где А – работа совершенная в цикле, – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.

Полная работа, совершенная в данном цикле, равна

.

Работы и равны нулю, так как в изохорном процессе изменение объема dV = 0, следовательно, и работа равна 0 (перемещения тел нет).

Полезная работа за цикл равна

.

В изобарном процессе работа равна А = р V, следовательно,

Так как , то

Тогда

Полезная работа цикла численно равна площади цикла.

 количество теплоты, полученное в цикле при изохорном и изобарном нагревании, т. е. в процессах 1 - 2 и 2 - 3:

КПД цикла

Вычисляем , подставив данные:

;  = 7,8 %.

6) Можно сравнить КПД данного цикла с КПД обратимого цикла Карно:

.

7) Изобразите данный цикл в координатах р,Т и V,Т:

Рис.22.7

8) Изобразите данный цикл в координатах Т, S

Ответ: Т₁ = 290 К, Т₂ = 435 К, Т₃ = 870 К, Т₄ = 580 К,  = 7,8 %; график на рис. 22.8.

Задача 2. На рис.22.9 изображен в координатах Т, V цикл. В цикле заданы и температуры нагревателя и холодильника. Найти .

Решение

Начертим график цикла в координатах р,V:

1 - 2 – изобарное расширение.

2 - 3 – изохорное охлаждение.

3 - 1 – изотермическое сжатие.

КПД цикла равен:

А – работа полезная, совершенная в цикле,  полученное в цикле тепло от нагревателя, оно получено в изобарном процессе 1 - 2; в процессах 2 - 3 и 3 - 1 тепло отдается холодильнику.

 закон Бойля - Мариотта.

На участке 2 - 3 можно записать

,

но а .

Следовательно,

.

Тогда

.

Задача 3. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя = 400 ⁰С, температура холодильника = 20 ⁰С. Время, за которое осуществляется цикл Карно, = 1 c. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.

Д ано:

= 400 ⁰С = 673 К

= 20 ⁰С = 293 К

т = 2 кг

 = 29 ^.

 = 1 с

R = 8,31

N - ?