Раздел 6. Дифференциальные уравнения

Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентаминазывают уравнение вида

, (1)

где и– постоянные величины, а– переменная функции переменной.

Если , то уравнение (1) принимает вид

, (2)

которое называют уравнением без правойчасти илилинейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы расширить такое уравнение необходимо составить егохарактеристическое уравнение:

. (3)

Для этого в уравнении (2) необходимо заменить насоответственно.

Вид общего решения уравнения (2) зависит от вида корней характеристического уравнения (3)

№	Корни уравнений	Частные решения	Общие решения
1.	Действительные различные
2.	Действительные равные
3.	Комплексно-сопряженные

Пример 5: Решить линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами

,

соответствующее начальным условиям:  при .

Решение: Составим характеристическое уравнение: Общее же решение этого уравнения имеет вид: Следовательно, . Найдем частные решения:

Ответ:

Пример 6: Решить линейное дифференциальное уравнение I порядка

.

Решение.

Это линейное уравнение

Пусть

Имеем

–уравнение с разделяющими переменными.

,

т.к

, подставим найденное в , получим

Интегрируем

Тогда

Ответ:

Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Пример 1:Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

Решение:

Введем полную группу независимых гипотез: Hi = (Лампа принадлежат i -ой партии), i =1,2,3 . Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятностей. Всего ламп 1000, из них 1-ой партии принадлежат 380, то есть

,

2-ой партии принадлежат 270, то есть 270

,

остальные 1000-380-270=350 ламп принадлежат 3-ей партии, поэтому

.

Введем событие A = (Лампа бракованная). По условию даны вероятности:

.

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

Ответ: 0,0443 (или 4,43%)

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы обработки и классификации статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

Примером статистических данных служит последовательность значений случайной величины, полученных в результате некоторого наблюдения (эксперимента).

Во многих случаях выводы об исследуемом признаке делаются на основе изучения ограниченного числа объектов, определенным образом отобранных из общей совокупности.

Основные понятия математической статистики – генеральная и выборочная совокупности.

Генеральная совокупность – множество всех значений изучаемой величины (совокупность всех объектов, подлежащих изучению)

Выборочная совокупность – специальным образом отобранная группа объектов.

Объем совокупности (выборки) – число объектов совокупности

Изучение статистических данных обычно начинают с их группировки в порядке возрастания значения признака.

Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания – выборочным или вариационным рядом

Частота – это численность (количество) отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда.

Например:

Вариационный ряд распределения студентов по экзаменационному баллу: .

Тогда частота

Объем выборки. В нашем случае

Величина –относительная частота варианты.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Геометрическая интерпретация статистических распределений выборки.

Если в прямоугольной системе координат на оси абсцисс расположить варианты , а на оси ординат – соответствующие частоты, то в плоскости получим точки.Соединив их отрезками, получим ломаную, котораяназывается полигоном частот.