Umk_TV_2009__MATAN_2

Поскольку случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение,

вероятность в левой части формулы (3.32) можно выразить через нормальную стандартную функцию распределения по формуле (3.7):

Приравняв правую часть формулы (3.33) заданной доверительной вероятности β,

распределения и определяется по таблице значений стандартной нормальной

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии.

требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания m при неизвестной дисперсии D=σ2. Введем новую случайную

величину T m* m , где S - несмещенная выборочная дисперсия.

S n

91

Статистика T согласно утверждению 3 теоремы Фишера имеет распределение Стьюдента с n 1 степенями свободы. Рассуждая аналогично случаю, когда

дисперсия известна, получим следующий доверительный интервал для математического ожидания:

доверительного интервала (3.34) длина интервала (3.35) случайна и зависит от случайной величины S . Поскольку с увеличением числа степеней свободы

распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, то для больших выборок n 30 интервалы (3.34) и (3.35) практически совпадают.

Пример 3.2. По результатам 9 измерений напряжения батареи получено среднее арифметическое значение x 30,6В. Точность вольтметра

характеризуется средним квадратическим отклонением 0,2В. Требуется найти доверительный интервал для истинного значения напряжения батареи,

соответствующий доверительной вероятности β=0,95, предполагая, что контролируемый признак имеет нормальный закон распределения.

Решение. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся

I0,95 30,6 0,1, 30,6 0,1 30,5, 30,7 .

92

Интервальная оценка дисперсии нормального распределения

Построим доверительный интервал для дисперсии D=σ2 наблюдаемой

при неизвестном математическом ожидании.

Введем случайную величину (статистику)

которая согласно утверждению 2 теоремы Фишера имеет распределение 2 с n 1 степенями свободы. Поскольку плотность распределения этого закона асимметрична, доверительный интервал, соответствующий надежности β, найдем из формулы (3.31) в виде:

выбирают так, чтобы вероятность ее попадания за пределы этого интервала влево и вправо была одинаковой ( рис. 3.9):

По таблице квантилей 2 - распределения ( табл. С приложения) найдем

93

Рис. 3.9

Следовательно, интервал

является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности β.

94

Пример 3.3. По данным выборочного контроля найти выборочное математическое ожидание и несмещенную оценку дисперсии нормальной случайной величины ξ. Найти доверительные интервалы для них,

соответствующие доверительной вероятности β = 0,98.

Таблица 3.4

Решение. Выборочное математическое ожидание найдем по формуле

(3.14), используя табл.3.4

Несмещенную выборочную дисперсию вычислим по формуле (3.19):

получим искомый доверительный интервал для математического ожидания:

95

I 47,1 2,09, 47,1 2,09 45,0, 49,2 .

Границы доверительного интервала для дисперсии определим по формуле (3.20).

По таблице квантилей распределения χ2 (см. табл. С приложения) при k n 1 20 определим квантили:

Вопросы для самопроверки

1.Что называется выборкой?

2.Как произвести оценку выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии?

3.Как найти функцию распределения для дискретной случайной величины?

4.Что такое несмещенная оценка параметра?

5.Дайте определение состоятельной оценки.

6.Что такое интервальная оценка?

Заключение

В результате изучения выше приведенного материала студент может приступить к выполнению контрольной работы и проверить свои ответы на вопросы самоконтроля. Затем после выполнения лабораторных работ может приступить к ответам на вопросы экзаменационного теста и получить оценку за проделанную работу.

96

Глоссарий

Биномиальное распределение с параметрами n и p – вычисление вероятности того, что случайная величина принимает значения m=0, 1,…, n.

Вариационный ряд – последовательность элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке (одинаковые элементы записываются последовательно друг за другом).

Вероятность произведения двух независимых событий – произведение вероятностей этих событий.

Вероятность события -- отношение числа исходов m события А к общему числу

элементарных событий N.

Возможные значения случайной величины – числа .

Выборка – последовательность значений из генеральной совокупности;

-объема k - часть, состоящая из k элементов генеральной совокупности;

-репрезентативная – позволяет адекватно описать случайную величину

-случайная объема n – последовательность n независимых случайных величин из генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия – величина, равная сумме квадратов разностей между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, деленная на объем выборки.

Выборочное среднее – число, равное сумме значений случайной величины,

деленной на объем выборки.

Генеральная совокупность – конечная или бесконечная совокупность наблюдений над случайной величиной.

Геометрическое определение вероятности – отношение площади S(A),

соответствующей событию A, к площади всей области .

Гипергеометрическое распределение – вычисление вероятности того, что случайная величина примет заданное значение через число сочетаний.

Гипотеза альтернативная – гипотеза, конкурирующая с основной;

-основная – гипотеза, которая проверяется;

97

-статистическая – предположение относительно параметров или закона распределения случайной величины.

Гистограмма – представление статистического ряда на плоскости.

Дискретная случайная величина - множество возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т.е. конечно или счетно.

Дисперсия случайной величины – момент второго порядка случайной величины ( - M( )).

Доверительная вероятность – вероятность, с которой производится оценка

параметров.

Доверительный интервал – область значений, при которых основная гипотеза

принимается.

Дополнение множества A – разность между всем множеством S и множеством

А, которое является частью S.

Достоверное событие – всегда наступает в условиях данного эксперимента.

Закон трех сигм – значения случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами m и σ, содержатся в интервале [ m-3σ, m-3σ].

Кривая распределения – график плотности вероятности.

Критерий значимости – вероятность ошибки 1-го рода.

Критерий

-согласия – правило, в соответствии с которым принимается решение;

-Колмогорова – проверка гипотезы о совпадении функций распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – сумма ряда из произведений возможных значений xi на их вероятности pi.

Множество – некоторая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Множество конечное – состоящие из конечного числа элементов, в противном случае – бесконечное множество.

98

Момент второго порядка случайной величины – математическое ожидание квадрата этой случайной величины.

Моргана формулы или соотношения двойственности – правило для записи выражения, соответствующего «отрицанию» функции.

Невозможное событие – это такое, которое не может наступить в условиях данного эксперимента, т.е. это событие имеет пустое множество благоприятствующих исходов.

Независимые события A и B – событие А происходит независимо от того,

происходит событие В или нет.

Несовместные события A и B – не могут происходить одновременно.

Нормальное или гауссовское распределение – случайная величина ξ имеет

плотность распределения вероятностей при всех x

- хи-квадрат (Пирсона) – проверка гипотезы о совпадении дисперсий.

Относительная частота события A – показывает долю опытов, в которых наступило событие A при N экспериментах.

Оценка интервальная – доверительный интервал:

-несмещенная – математическое ожидание случайной величины в этом случае равно оцениваемому параметру;

-точечная – произвольная функция элементов выборки, когда параметр неизвестен.

Ошибка второго рода – событие, состоящее в том, что гипотеза принимается,

когда на самом деле она неверна.

Ошибка первого рода – событие, состоящее в том, что гипотеза отвергается,

когда на самом деле она верна.

99

Показательное распределение с параметром 0 – это такое распределение,

e x , если x 0,

плотность вероятности которого задается равенством (x) .

0, если x 0.

Произведение или пересечение множеств A и B – множество, состоящее из всех

общих элементов этих множеств.

Пространство элементарных событий – множество всех исходов данного эксперимента.

Противоположное событие – это событие, которое происходит в том случае,

если не происходит событие А.

Пустое множество – множество, не содержащее элементов.

Равномерное распределение - случайная величина ξ на промежутке [a,b]

имеет постоянную плотность распределения вероятностей.

Размещение из n элементов по k элементов – упорядоченные выборки объема k без

возвращения элементов.

Разность множеств A и B – множество, состоящее из всех элементов множества

A, которые не содержатся в множестве B.

Ряд распределения – статистический ряд, записанный в виде таблицы.

Случайная величина – функция f, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число .

Событие – некоторое высказывание о результатах рассматриваемого эксперимента.

Сочетание из n элементов по k элементов - неупорядоченные выборки объема k

без возвращения элементов.

Стандартное или средне-квадратическое отклонение - квадратный корень из

дисперсии.

Статистика – результат наблюдения над случайной величиной.

Статистический ряд – последовательность различных значений, расположенных в возрастающем порядке, с указанием относительных частот.

100