Umk_TV_2009__MATAN_2

3.4.Интервальные оценки

Встатистике имеются два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений: точечный и интервальный. В соответствии с точечным оцениванием, которое рассмотрено в предыдущем разделе, указывается лишь точка, около которой находится оцениваемый параметр. Желательно, однако,

знать, как далеко может отстоять в действительности этот параметр от возможных реализаций оценок в разных сериях наблюдений.

Ответ на этот вопрос – тоже приближенный – дает другой способ оценивания параметров – интервальный. В соответствии с этим способом оценивания находят интервал, который с вероятностью, близкой к единице,

накрывает неизвестное числовое значение параметра.

Понятие интервальной оценки

Точечная оценка a* a* ( X1, , X n ) является случайной величиной и для возможных реализаций выборки принимает значения лишь приближенно равные истинному значению параметра a . Чем меньше разность a a* , тем

81

0 1, неизвестный параметр a , называется доверительным интервалом

(или интервальной оценкой), соответствующим доверительной вероятности β.

Случайной величиной является не только оценка a* , но и ошибка

значение зависит от вероятности β и, как правило, от выборки. Поэтому

доверительный интервал случаен и выражение (3.21) следует читать так:

“Интервал I накроет параметр a с вероятностью β ”, а не так: “Параметр a

попадет в интервал I с вероятностью β ”.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема n в относительной доле случаев, равной β,

доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β,

накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом,

доверительная вероятность β характеризует надежность доверительного оценивания: чем больше β, тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.

Следует, однако, иметь в виду, что с ростом доверительной вероятности β в

среднем растет длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется

82

называется уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.

В формуле (3.21) границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Однако не всегда удается построить интервал,

обладающий таким свойством. Более общим является следующее определение.

Доверительным интервалом (или интервальной оценкой) параметра a с

доверительной вероятностью β, 0< β <1, называется интервал со случайными

Иногда вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая a1* или a2* .

Построение интервальных оценок

Доверительный интервал задается своими концами a1* и a2* . Однако найти функции a1* a1* X1, , X n и a2* a2* X1, , X n из условия (3.23) невозможно, поскольку закон распределения этих функций зависит от закона распределения ξ и, следовательно, зависит от неизвестного параметра a .

Используют следующий прием, позволяющий в ряде случаев построить

доверительный интервал. Подбирается такая функция , чтобы:

G X , a

- ее закон распределения был известен и не зависел от неизвестного параметра a ;

- функция была непрерывной и строго монотонной по .

G X , a a

83

Тогда для любого β можно выбрать два числа g1 и g2 так, чтобы выполнялось равенство

g 2

P g1 G g2 F g2 F g1 fG t dt . (3.24)

g1

Отсюда находят g1 и g2 как квантили функции распределения .

G X , a

Границы искомого доверительного интервала выражают через найденные квантили и выборочные данные, используя для этого соотношения,

связывающие новую и старую случайные величины.

Если плотность распределения случайной величины

симметрична, то доверительный интервал симметричен относительно

G X , a

точечной оценки a* , и для нахождения границ доверительного интервала вместо условия (3.23) можно использовать соотношение (3.21).

Основные статистические распределения

Построение разного рода оценок и статистических критериев часто основывается на использовании ряда специальных распределений случайных величин.

Нормальное распределение. Случайная величина X имеет нормальное

X ~ N m; 2 , если плотность вероятности этой случайной величины имеет

вид

84

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальное распределение, представлен на рисунке 3.5, на котором видно, что максимум функции находится в точке

Поскольку нормальное распределение подробно изучается в курсе теории вероятностей, напомним свойства нормальной случайной величины, которые будут использоваться в дальнейшем.

Рис. 3.5

1)M X m, D X 2 .

2)Случайная величина называется центрированной, если ее математическое

ожидание равно нулю. Для того чтобы центрировать случайную величину, надо

вычесть из нее математическое ожидание:

M X M X M X M X 0.

3)Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице, а математическое ожидание равно нулю.

85

Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратическое отклонение:

Центрированная и нормированная нормальная случайная величина называется стандартной. Таким образом, стандартной будет случайная величина

функцию распределения стандартной нормально распределенной случайной величины. Интеграл вероятности табулирован. Его значения приведены в таблице В Приложения.

Для стандартной нормальной случайной величины и симметричного промежутка формула (3.27) принимает следующий вид:

86

независимые стандартные нормальные случайные величины, то говорят, что случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы, что обозначается как

Zk ~ 2 k . Графики плотности вероятности для двух значений степени свободы приведены на рис.3.6.

87

имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы, что обозначается как Tk ~ S k , при этом

Рис. 3.7

При n плотность распределения Стьюдента стремится к плотности стандартной нормальной случайной величины.

На практике, как правило, используется не плотность вероятности, а

квантиль распределения. Напомним, что квантилью порядка (или уровня) p

непрерывной случайной величины X называется такое ее значение x p , которое удовлетворяет равенству F x p P X x p p ,

где F (x) - функция распределения, а p - заданное значение вероятности.

Рис.3.8 поясняет понятие квантили порядка p .

88

Рис. 3.8

Следующая теорема устанавливает свойства основных выборочных характеристик, вычисленных по выборке, соответствующих нормальному

распределению.

2)случайная величина n 1 S 2 / 2 имеет распределение 2 n 1 ;

3)случайная величина X m n / S имеет распределение S n 1 .

Доказательство теоремы приведено в [2].

89

Интервальные оценки математического ожидания нормального

распределения

Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии.

зависит от неизвестного параметра.

Доверительный интервал, соответствующий надежности β, определяется из условия (3.20), которое в нашем случае имеет вид

90