Розділ 3. Геометрія

Приклад 3.1. Знайти координати точки К, яка симетрична точці M(2; -1) відносно прямої

Точка К лежить на прямій , яка проходить через точку М і перпендикулярна прямій Рівняння прямоїмає вигляд

(покажіть це!).

Знаходимо координати точки N – точки перетину прямих l і

Використовуючи формулу координат середини відрізка, знаходимо координати точки

Відповідь:

Приклад 3.2.

Записати:

а) рівняння бісектриси AL трикутник ABC;

б) рівняння кола, вписаного в трикутник ABC,

якщо

Згідно властивості бісектриси AL трикутника ABC маємо:

CL : LB = AC : AB = 8 : 10 = 4 : 5.

Знаходимо координати точки .

Рівняння прямої l має вигляд:

Оскільки центр O кола, вписаного в трикутник ABC, являється точкою перетину бісектрис, то його координати задовольняють систему рівнянь

Отже, рівняння кола вписаного в трикутник ABC має вигляд:

Відповідь: а)

Приклад 3.3. Вектори утворюють кут і

Обчислити

Відповідь: 103

Приклад 3.4. Який кут (у градусах) утворюють одиничні вектори і взаємно перпендикулярні?

Відповідь:

Приклад 3.5. Опуклий чотирикутник поділяється на чотири трикутники; площі трьох з них відповідно дорівнюють 10,20 і 30 , та кожна з цих площ менше площі четвертого трикутника. Знайти заданого чотирикутника.

Нехай

За умовою маємо:

Враховуючи, що запишемо:

Перемноживши ці рівності матимемо:

Підставляючи значення

Тоді

Відповідь: 120

Приклад 3.6. В трикутнику ABC величина кута A вдвічі більше величини кута B, а довжина сторін, протилежних цим кутам, дорівнюють відповідно 12 і 8 см. Знайти довжину третьої сторони трикутника.

Нехай тоді

За теоремою косинусів

За теоремою синусів

Тоді

Відповідь: 10 см.

Приклад 3.7. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точки дотику поділяють кожну бічну сторону на відрізки довжиною m і n, рахуючи від вершини. До кола проведені три дотичні, паралельні кожній із сторін трикутника. Знайти довжини відрізків дотичних, обмежених сторонами трикутника.

Нехай

AD=AE=n і CD=CG=n, як дотичні до кола, які

входять з однієї точки. Отже,

(SE=SF як дотичні до кола, які виходять з однієї точки) або

або, оскільки

(RE=RP,ND=PN, як дотичні до кола, які входять з однієї точки), то

Відповідь:

Приклад 3.8. У трикутник зі сторонами 6,10 і 12 см вписано коло. До кола проведено дотичну так, що вона перетинає дві більші сторони трикутника. Знайти периметр трикутника який відтинається дотичною.

Нехай

BC=12 см, DE – дотична до кола.

Фігура ABED– описаний чотирикутник, отже,

Підставляючи значення у рівність (*), маємо

Відповідь: 16 см.

Приклад 3.9. У трикутнику ABC задано гострі кути і при основіAC. З вершини B проведені висота BD та бісектриса BE. Знайти площу трикутника BDE, якщо площа трикутника ABC дорівнює S.

За умовою звідки

З прямокутних трикутників BDA і BDC знайдемо

Додавши рівності (2) і (3):

AC=AD+CD=BDctg+BDctg=BD(ctg+ctg).(4)

Підставляючи значення AC з (4) в (1), отримуємо:

У трикутнику ABC маємо тоді у трикутнику ABE:

Далі, в прямокутному трикутнику BDE маємо:

Тоді площа трикутника BDE дорівнює:

Підставляючи значення з (5) у (6), отримаємо

Скориставшись формулою

знаходимо площу трикутника

Відповідь: .

Приклад 3.10.

Сторони паралелограма відповідно дорівнюють a і b , (a<b). Із середини більшої сторони паралельну сторону видно під кутом . Знайти площу паралелограма.

За умовою,

Позначимо

Тоді і в трикутниках BEC, BAE і CDE, за теоремою косинусів, маємо

Додамо почленно рівності (2) і(3). Отримаємо

А тепер значення з (4) підставимо в (1).

Отже,

Тоді площа паралелограма ABCD дорівнює

або, оскільки то

Підставляючи значення з (5) у (7), маємо:

Отже, тепер підставляючи значення з (8) у (6), знаходимо площу

Відповідь:

Приклад 3.11.

На відрізку AC задано точку B, причому AB=14 см, BC=28 см. На відрізках AB,BC і AC, як на діаметрах, побудовані півкола в одній півплощині щодо AC. Знайти радіус кола, яке дотикається всіх трьох півкіл.

Нехай OB=7 см, BP=14 см, AQ=21см, SF=x см – радіуси відповідних кіл. Точки дотику знаходяться на лініях, які з`єднають центри.

Отже,

Оскільки

За теоремою косинусів:

Тоді

Відповідь: 6 см.

Приклад 3.12. У трапецію, у якої менша основа дорівнює a, вписано коло.

Одна з бічних сторін трапеції поділяється точкою дотику на відрізки довжиною m і n, якщо рахувати від більшої основи. Визначити площу трапеції.

Нехай – радіус кола, вписаного в трапецію ABCD. З`єднаємо центр кола O з точками

Трикутники AOB і COD – прямокутні і

Проведемо Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.

Отже, в трикутнику AOB:

Тоді, висота трапеції

У трикутнику COD:

Порівнявши (1) і (2), отримаємо:

Площа трапеції ABCD дорівнює:

Відповідь:

Приклад 3.13. Навколо кола радіуса R=1 см описана рівнобічна трапеція, площа якої дорівнює 5 . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого служать точки дотику кола та трапеції.

Нехай

Площа трапеції

В опуклий чотирикутник можна вписати коло, тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін чотирикутника рівні. Отже,

З прямокутного трикутника ABP маємо:

Оскільки

Отже, площа чотирикутника дорівнює:

Підставляючи в останню рівність значення маємо:

Відповідь:

Приклад 3.14. Відстань від правильної чотирикутної піраміди до бічної грані і до бічного ребра відповідно дорівнюють a і b. Знайти двогранний кут при основі піраміди.

Нехай SABCD – задана піраміда, SO – висота піраміди.

де через а кут SCO через

З прямокутного трикутника OKM знайдемо:

З прямокутного трикутника CMO, за теоремою Піфагора:

Далі з прямокутних трикутників SOM і SOC знайдемо

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і(2), отримуємо,

Тоді

З прямокутного трикутника OTC матимемо

Підставимо значення

Отже,

Відповідь:

Приклад 3.15. Сторони нижньої та верхньої основ правильної трикутної зрізаної піраміди відповідно дорівнюють a і b, (a>b). Бічна грань утворює з площиною основи кут, рівний . Знайти площу перерізу піраміди площиною, який проходить через середню лінію бічної грані і центр нижньої основи.

Нехай задана піраміда,

середня лінія бічної грані центр верхньої основи,O – центр нижньої основи,

Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника ABC, дорівнює

З прямокутного трикутника COQ:

Отже,

Проведемо і з прямокутного трикутника

Далі, з трикутника OKD:

Отже:

Відповідь:

Приклад 3.16. У правильній трикутній піраміді бічна грань має задану площину та утворює з площиною основи кут . При якому значеннівідстань від центра основи піраміди до бічної грані буде найбільшою?

Нехай SABC–задана піраміда, ∠SDO=α, де SD ⫠ AC, BD ⫠ AC i AD = CD, OK⫠SD. Позначимо площу бічної грані SAC через S , тоді, згідно властивості ортогональності проекції плоского багатокутника, маємо:

(1)

З прямокутного трикутника ODC знайдемо:

Підставивши це значення у (1), отримаємо:

Отже, з прямокутного трикутника OKD:

Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:

У даному випадку кут α – гострий, а, отже, α ϵ(0;).

Далі задача зводиться до пошуку найбільшого значення функції f(α) на проміжку (0;).

Відповідь: arctg.

Приклад 3.17. Відношення об’єму зрізаного конуса до об’єму вписаної в нього кулі дорівнює k. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи та допустимі значення k.

Розглянемо осьовий переріз заданих тіл. AA₁B₁B – рівнобічна трапеція, AA₁ = B₁B, O’ – центр вписаного кола, B₁E – висота. Покладемо О’О₁ = О’О = O’D = r, де О’D⫠B₁B, ∠B₁BO = α. Тоді O₁B₁+OB = B₁D+BD = B₁B. З прямокутного трикутника B₁EB:

Далі з прямокутного трикутника B₁O’B(B₁O’B=90°) маємо

B₁D*BD = O’D² ⟺ O₁B₁*OB = r².

Отже, O₁B₁+OB = .За умовою: =k;

Де має бути k > .

Відповідь: .

Приклад 3.18. У конус із заданим об’ємом вписана піраміда; в основі якої лежить рівнобедрений трикутник, у якого величина кута при вершині дорівнює α. При якому значенні α об’єм піраміди буде найбільшим?

Об’єм конуса дорівнює:

де OB – радіус основи конуса і описаного навколо трикутника ABC кола, SO – висота.

Згідно наслідку з теореми синусів, маємо

А за теоремою косинусів, у трикутнику ABC маємо

Враховуючи, що AB = BC, маємо

Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:

У цьому випадку α ϵ (0;π). Отже, задача зводиться до відшукання найбільшого значення функції V(α) на проміжку (0;π).

Відповідь:

Приклад 3.19 Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює a, а двогранний кут при основі дорівнює α. Знайти відстань від центра сфери, вписаної в цю піраміду, до бічного ребра.

–задана піраміда, – апофеми, - висота піраміди, - точка дотику кулі до бічної грані . Точка – центр кола, вписаного в трикутниклежить на перетині бісектрис. Отже,- бісектриса кута, тобто

З прямокутного трикутника

А з прямокутного трикутника знайдемо:

Далі, з отримаємоа в прямокутному трикутникуза теоремою Піфагора, визначимо і оскільки то

Тоді з прямокутного трикутника

Оскільки прямокутні трикутники SKO і SO₁D подібні (вони мають спільний кут DSO₁), K основа перпендикуляра упущеного з О на SD, то

Відповідь:

Приклад 3.20 У правильну зрізану трикутну піраміду вписано дві кулі: одна дотикається всіх її граней, друга – всіх ребер. Знайти синус кута між бічним ребром і площиною основи.

Нехай ABCA₁B₁C₁ – задана піраміда. Позначимо: AB=BC=AC=a, A₁B₁= B₁C₁= A₁C₁=a₁, AA₁= BB₁= CC₁=l, де D₁D – апофема, BD⫠AC.

Куля, вписана в піраміду, дотикається її основ ABC і A₁B₁C₁ у центрах О і О₁ , а також апофеми D₁D у точці Е.

Проведемо A₁K ⫠AC I C₁T||A₁K. Тоді

З прямокутного трикутника А₁КА, за теоремою Піфагора, знайдемо

Або, оскільки А₁К = D₁D, то

З трикутників А₁В₁С₁ і АВС, знайдемо

Тоді, так як DE=OD i D₁E=O₁D₁, то

Порівнюючи праві частини (1) і (2), отримуємо

Оскільки друга куля дотикається до всіх ребер піраміди, то грань AA₁C₁С перетинає її так, що в перерізі утворюється коло, вписане в трапецію AA₁C₁С. Для того, щоб в опуклий чотирикутник можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб суми протилежних сторін, цього чотирикутника, були рівні. Отже,

A₁C₁+AC=A₁A+C₁C⇔a₁+a=l+l, a₁+a=2l. (4)

Розв’язуючи рівняння (3) і (4), знайдемо, що при

Далі, проведемо B₁N⫠BN.

Тоді

З прямокутного трикутника В₁ знайдемо:

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату:

Тоді

Відповідь:

Приклад 3.21 Поверхня кулі, вписаної в правильну зрізану трикутну піраміду, відноситься до повної поверхні піраміди, як . Знайти кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.

Позначимо А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁=а₁, АВ=ВС=АС=а, О₂О₁=О₂О=R, де R – радіус кулі, а О₁ і О – центр трикутників ABC і A₁B₁C₁. Знайдемо точки О₂ і D, О₂ і D₁, де О₂ – центр кулі.

Розглянемо осьовий переріз DD₁В₁В заданих тіл:

O₁D₁+OD=D₁K+DK= D₁ D

і з прямокутного трикутника D₁ED ()знайдемо

Далі, в прямокутному трикутнику ()знайдемо:

D₁K*DK=O₂K²(O₂K⫠D₁D);

O₁D₁*OD=R².

За умовою ,

Тоді отримуємо:

Отже (1) матиме вигляд:

Відповідь: