Санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар.

Негізгі арифметикалық амалдар: қосу, азайту, көбейту және бөлуді қарастырайық. Бұл амалдарды ондық жүйеде орындау ережесі бәрімізге белгілі – олар қосу, азайту, көбейту бағандап, ал бөлу бұрыштап орындалады. Бұл ережелер басқа санау жүйелерінде де қолданылады, тек әр жүйе үшін өздерінің қосу және көбейту кестелерін қолдану керек.

Қ о с у .

Қосу амалында цифрлар разрядтары бойынша қосылады, және тасымалдау есебімен сәйкес разрядтарды қосуға алып келеді

Екілік жүйеде қосу

Сегіздік жүйеде қосу

Он алтылық жүйеде қосу

              

 8-мысал. Әр түрлі санау жүйелерінде 15 және 6 сандарын қосайық.

Ондық жүйеде: 15₁₀+6₁₀ Екілік жүйеде: 1111₂+110₂ Сегіздік жүйеде: 17₈+6₈

     

Он алтылық жүйеде: F16+616

Жауабы: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.  Тексеру. Алынған қосындыларды ондық түрге келтіреміз: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,  258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21,  1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

9-мысал. 141,5 және 59,75 сандарын қосамыз.

Ондық жүйеде: 141,5₁₀ + 59,75₁₀ Екілік жүйеде: 10001101,1₂ + 111011,11₂

Жауабы: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

А з а й т у

Әр түрлі санау жүйелерінде сандарды азайту үшін, кіші разрядтан бастап азайтуды бағандап орындаймыз. Жетпейтін бірлікті көрші (үлкен) разрядтан аламыз.

10-мысал. 10₂, 10₈ және 10₁₆ сандарынан 1-ді азайтамыз.

Екілік жүйеде: 10₂ – 1₂ Сегіздік жүйеде: 10₈ – 1₈ Он алтылық жүйеде: 10₁₆ - 1₁₆            11-мысал. 201,25 санынан 59,75 санын азайтамыз.

Ондық жүйеде: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ Екілік жүйеде: 11001001,01₂ – 111011,11₂

Сегіздік жүйеде: 311,2₈ – 73,6₈ Он алтылық жүйеде: С9,4₁₆ – 3В,С₁₆

  Жауабы: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Тексеру. Алынған айырмаларды ондық түрге келтіреміз: 10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5; 215,4₈ = 2 ^. 8² + 1 ^. 8¹ + 5 ^. 8⁰ + 4 ^. 8^-1 = 141,5; 8D,8₁₆ = 8 ^. 16¹ + D ^. 16⁰ + 8 ^. 16^-1 = 141,5.

К ө б е й т у

Әр түрлі санау жүйелерінде көп қатарлы сандарды көбейту үшін, бағандап көбейтудің кәдімгі алгоритмін қолданамыз, тек бұл кезде бір қатарлы сандарды көбейту мен қосу нәтижелерін, қарастырылып отырған жүйенің көбейту және қосу кестелерінен алу керек.

Екілік жүйеде көбейту

Сегіздік жүйеде көбейту

Он алтылық жүйеде көбейту

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

12-мысал. Әр түрлі санау жүйелерінде 5 және 6 сандарын көбейтейік.

Ондық жүйеде: 5₁₀*6₁₀ Екілік жүйеде: 101₂*110₂ Сегіздік жүйеде: 5₈*6₈

Жауабы: 5 ^. 6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈. Тексеру. Алынған көбейтінділерді ондық түрге келтіреміз: 11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30; 36₈ = 3*8¹ + 6*8⁰ = 30.

13-мысал. 115 және 51 сандарын көбейтеміз.

Ондық жүйеде: 115₁₀*51₁₀ Екілік жүйеде: 1110011₂*110011₂ Сегіздік жүйеде: 163₈*63₈

Жауабы: 115 ^. 51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈. Тексеру. Алынған көбейтінділерді ондық түрге келтіреміз: 1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865; 13351₈ = 1 ^. 8⁴ + 3 ^. 8³ + 3 ^. 8² + 5 ^. 8¹ + 1 ^. 8⁰ = 5865.

Б ө л у.

Кез келген жүйеде бөлу амалы, ондық жүйедегі сияқты бұрыштап бөлу ережесімен орындалады.  14-мысал . 30 санын 6-ға бөлейік.

Ондық жүйеде: 30₁₀/6₁₀ Екілік жүйеде: 11110₂/110₂ Сегіздік жүйеде: 36₈*6₈

Жауабы: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

15-мысал. 5865 санын 115 санына бөлейік.

Ондық жүйеде: 5865₁₀/115₁₀ Екілік жүйеде: 1011011101001₂/1110011₂

Сегіздік жүйеде: 13351₈ :163₈

Жауабы: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈. Тексеру. Алынған бөлінділерді ондық түрге келтіреміз: 110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6 ^. 8¹ + 3 ^. 8⁰ = 51.