1.6. Момент інерції. Теорема Штейнера

• Момент інерціїматеріальної точки й твердого тіла:

• J_i = m_i r²_i; J = .

• Теорема Штейнера (момент інерції тіла відносно будь-якої осі, що не проходить через центр мас тіла):

J = J_o + md²,

де J_о момент інерції тіла відносно осі, яка паралельна даній і проведена через центр мас, d – відстань між осями.

Задачi

241. Двi кульки масами m та 2m (m = 20 г) закрiпленi на тонкому невагомому стержнi довжиною 50 см. Визначити момент iнерцiї вiдносно осi, перпендикулярної стержню і яка проходить через кiнцi стержня (у двох випадках) та відносно осі, що проходить через центр маси системи. [0,01 кг∙м²; 0,005 кг∙м²; 0,033 кг∙м²].

242. Три маленьких кульки масами 20 г кожна розташованi у вершинах рiвностороннього трикутника зi стороною 20 см та скрiпленi невагомими стержнями. Визначити а) момент iнерцiї системи вiдносно осi, яка перпендикулярна до площини трикутника і проходить через одну iз його вершин; б) відносно осі, що лежить у площині трикутника та співпадає з однією із його медіан. [3,9∙10^–4 кг∙м²; 4∙10^–4 кг∙м²].

243. Визначити момент iнерцiї тонкого однорiдного стержня довжиною 1 м і масою 1 кг вiдносно осi, перпендикулярної до стержня і яка проходить через: а) його кiнець; б) його середину. [ кг∙м²; кг∙м²].

244. Знайти момент iнерцiї тонкого однорiдного кiльця радiусом 50 см, масою 500 г вiдносно осi: а) яка перпендикулярна до площини кiльця та проходить через центр мас; б) яка лежить в площинi кiльця та проходить через центр мас. [0,125 кг∙м²; 0,063 кг∙м²].

245. Знайдіть момент інерції мідного циліндра радіусом 10 см та висотою 5 см відносно вісі циліндра. [0,07 кг∙м²].

246. Знайти момент iнерцiї плоскої однорiдної прямокутної пластини масою 1 кг вiдносно осi, яка збігається з однiєю із її сторiн, якщо довжина другої сторони дорiвнює 50 см. [0,083 кг∙м²].

247. Визначити момент iнерцiї тонкої плоскої пластини зi сторонами 10 та 40 см i масою 100 г вiдносно осi, яка проходить через центр мас пластини паралельно до меншої сторони. [1,3∙10^–3 кг∙м²].

248. Знайти момент інерції плоского рівнобедреного прямокутного трикутника зі стороною 0,2 м і масою 1 кг відносно осі, що співпадає з однією із його сторін. [ 6,7∙10^–3 кг∙м²].

249. Знайдіть момент інерції сталевої кулі радіусом 20 см відносно осі, що проходить через її центр маси. [6,3 кг∙м²].

250. Обчисліть момент інерції конуса масою 10 кг, радіусом основи 10 см відносно осі, що паралельна до осі симетрії та лежить на відстані подвійного радіуса від неї. [0,43 кг∙м²].

251. Виведіть формулу для знаходження моменту інерції пустотілого циліндру масою т, зовнішнім радіусом R та внутрішнім – r. [].

252. Молекула кисню складається із двох атомів Оксигену масою 5,3∙10^–26 кг. Момент інерції цієї молекули відносно осі, що проходить через її центр маси перпендикулярно відрізку, що з’єднує атоми дорівнює 1,9∙10^–46 кг∙м². Знайдіть відстань між атомами Оксигену. [1,2∙10^–10м ].

253. Куля масою т та радіусом R обертається навколо осі, що проходить через центр її мас. У скільки разів збільшиться момент інерції кулі, якщо вона почне обертатись відносно осі, яка паралельна до першої і розміщена на відстані 5R. [63,5 рази].

254. Куля масою 2 кг і радіусом 10 см, закріплена на кінці тонкого стержня масою 1 кг та довжиною 1 м. Вісь обертання проходить через вільний кінець стрежня перпендикулярно до нього. Знайдіть момент інерції цієї системи для двох випадків: а) коли кулю вважають матеріальною точкою, маса якої зосереджена в центрі кулі; в) коли не нехтувати розмірами кулі. [2,75 кг∙м²; 2,76 кг∙м²].

255. В однорiдному диску, що початково мав масу 2 кг та радiус 50 см вирiзано круглий отвiр радіусом 10 см, центр якого міститься на вiдстанi 20 см вiд осi диска. Знайти момент iнерцiї утвореного тiла вiдносно осi, яка перпендикулярна до площини диску та проходить через його центр. [0,25 кг∙м²].

Д О Д А Т К И

Додаток 1. Деякі характеристики Сонця, Землі, Місяця

Фізичні параметри	Сонце	Земля	Місяць
Маса, кг	1,97·1030	5,96·1024	7,33·1022
Радіус, м	6,95·108	6,37·106	1,74·106
Середня густина, кг/м3	1,4·103	5,5·103	3,4·103
Середня відстань від Землі, м	1,5·1011		3,8·108

Додаток 2. Густина речовин ρ, кг/м³

Гази при нормальних умовах (Т_о = 273,15 К; р_о = 1,01∙10⁵ Па)

Азот	1,250	Кисень	1,43
Водень	0,09	Метан	0,72
Вуглекислий газ	1,98	Неон	0,90
Гелій	0,18	Повітря	1,29

Рідини при +20 ^оС

Бензол	879	Скипидар	858
Вода ( t =+4 °С)	1000	Спирт етиловий	789
Вода (t = 100 oС)	958	Спирт метиловий	792
Гас	800	Толуол	870
Гліцерин	1260	Ртуть	13596

Тверді тіла при +20 ^оС (∙10³, кг/м³)

Алюміній	2,69	Олово	7,23
Залізо	7,86	Сталь лита	7,8
Латунь	8,3	Свинець	11,3
Лід (0 °С)	0,91	Срібло	10,5
Мідь	8,94	Цинк	6,9
Нікель	8,6	Чавун	7,3
Літій	0,54

Додаток 3. Пружні властивості твердих тіл

(Е − модуль Юнга (модуль поздовжньої пружності), Па; G − модуль зсуву, Па; μ − число Пуассона; σ_м − межа міцності, Па)

Матеріал	Е∙1010	G∙1010	μ	σм∙108
Алюміній	6,1−7,4	2,2−2,6	0,33	0,98−3.90
Залізо коване	20−22	6,9−8,3	0,28	3,90−5,90
Сталь	20−22	7,8−8,1	0,28	4,9−15,7
Чавун	7,4−17,6	4,9	0,23−0,27	1,17−1,27
Латунь	7,8−9,8	2,6−3,6	0,3−0,4	0,98−1,27
Мідь	1,0−13	3,8−4,7	0,31−0,40	1,56—4,41
Свинець	1,5−1,7	0,54	0,44	0,0196
Гетинакс	1,0−1,7
Текстоліт	0,14−0,28

Додаток 4. Деякі сталі числа й наближені формули

Сталі числа		Наближені формули (при х < 1)
= 3,1416		(1 ± х)n ≈ 1, де 1 ± пх
2= 9,8696		ех ≈ 1 + х
= 1,7725		ln (1 + х) ≈ х
е = 2,7183		sin х ≈ х
lg е = 0,4343		cos х ≈ 1−х2/2
ln 10 = 2,3026		tg х ≈ х
	Грецький алфавіт
	А, α— альфа		N, ν — ню
	В, β — бета		Ξ, ξ — ксі
	Г , γ— гамма		О , о — омікрон
	Δ, δ — дельта		II, π — пі
	Е, ε — епсилон		Р, ρ — ро
	Ζ, ζ— дзета		Σ, σ— сигма
	Н, η — ета		Т , τ— тау
	Θ, θ — тета		Y , υ ­ іпсилон
	І, ι— йота		Φ, φ ­ фі
	К , κ — каппа		X , χ — хі
	Λ, λ — ламбда		Ψ, ψ— псі
	М, μ — мю		Ω, ω — омега