Самаров

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Учебный центр «Резольвента»

Доктор физико-математических наук, профессор

К. Л. САМАРОВ

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие по разделу

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

© К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.Классификация систем массового обслуживания

Вкаждую систему массового обслуживания (СМО) поступает входящий поток заявок на обслуживание. Результатом работы СМО является выходящий поток обслуженных заявок.

∙Потоком событий называется последовательность однородных событий, происходящих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

∙Если в СМО одновременно может обслуживаться несколько заявок, то СМО называется многоканальной, в противном случае СМО называется

одноканальной.

∙Как одноканальные СМО, так и многоканальные СМО делятся на

СМО с отказами и СМО с очередью (ожиданием).

∙В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает «отказ» в обслуживании и покидает СМО.

∙В СМО с очередью заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь из заявок, ожидающих обслуживания. Как только один из каналов обслуживания освобождается, к обслуживанию принимается одна из заявок, стоящих в очереди.

∙СМО с очередью различаются по принципу построения (дисципли-

не) очереди.

∙Принципом построения очереди называется схема, в соответствии с которой заявки из очереди выбираются на обслуживание. Чаще всего при этом используется:

1.Случайный выбор заявки из очереди;

2.Выбор заявки из очереди в зависимости от её приоритета;

3.Выбор заявки в зависимости от порядка её поступления в очередь.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

В третьем случае заявки из очереди могут обслуживаться, как по схеме: «Первым пришел − первым обслуживаешься», так и по схеме: «Последним пришел − первым обслуживаешься».

∙СМО с очередью делятся также на СМО с неограниченным ожида-

нием и СМО с ограниченным ожиданием.

∙В СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка, поступившая

вСМО, рано или поздно будет обслужена.

∙В СМО с ограниченным ожиданием на пребывание заявок в очереди накладываются различного рода ограничения. Эти ограничения могут ка-

саться, например, длины очереди, времени пребывания заявки в очереди, общего времени пребывания заявки в СМО и т.п. В частности, в СМО с ограни-

ченным временем пребывания в очереди, заявка, израсходовавшая лимит времени пребывания в очереди, покидает СМО.

2. Простейший поток событий и его свойства

Поток событий называется простейшим потоком событий, если он об-

ладает следующими свойствами стационарности, отсутствия последейст-

вия и ординарности:

1.Поток событий называется стационарным, если вероятность появления одного или нескольких событий на участке времени длины T зависит только от длины T этого участка и не зависит от того, в каком месте оси времени этот участок располагается.

2.Поток событий называется потоком с отсутствием последействия (без последействия), если события, составляющие поток, появляются в слу-

чайные моменты времени независимо друг от друга.

3.Поток событий называется ординарным, если события, составляющие поток, происходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.

Замечание. Поток, в котором события происходят через равные проме-

жутки времени, не является простейшим потоком событий!

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

· Интенсивностью (плотностью) потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Замечание. Простейший поток событий обладает постоянной интенсив-

ностью.

Замечание. В дальнейшем изложении будем предполагать, что все потоки событий являются простейшими потоками, не оговаривая этого особо.

Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона (см. Модуль 7). Действительно, справедливо следующее

Утверждение 1. Вероятность того, что на отрезке времени длины T произойдет ровно k событий из простейшего потока с интенсивностью λ , выражается формулой Пуассона

P = (λT )k e−λT , k = 0,1,... .

k k !

Утверждение 2. Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ (см. Модуль 7).

Замечание. Напомним, что плотность показательного распределения определяется по формуле

3. Показатели эффективности СМО

Рассмотрим сначала СМО с отказами.

Важнейшими показателями эффективности СМО с отказами являются

следующие параметры:

1.Абсолютная пропускная способность системы;

2.Относительная пропускная способность системы.

· Абсолютной пропускной способностью СМО называется среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

∙ Относительной пропускной способностью СМО называется сред-

няя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение среднего числа заявок, которое может обслужить система за единицу времени, к среднему числу заявок, поступивших в систему за это время.

В некоторых практических задачах используются и другие показатели эффективности СМО с отказами, например, среднее число занятых каналов,

среднее относительное время простоя системы, среднее относительное время простоя отдельного канала и т.п.

Перейдем теперь к СМО с ожиданием.

В качестве показателей эффективности СМО с неограниченным ожиданием применяются следующие параметры:

1.Среднее число заявок в очереди;

2.Среднее число обслуживаемых заявок;

3.Среднее время ожидания заявки в очереди;

4.Среднее время обслуживания заявки.

Поскольку в СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка, в конце концов, обслуживается, то для таких систем абсолютная пропускная способ-

ность совпадает с интенсивностью входящего потока заявок.

У СМО с ограниченным ожиданием в качестве показателей эффективности используются как показатели эффективности СМО с отказами, так и показатели эффективности СМО с неограниченным ожиданием.

При исследовании многоканальных систем в дополнение к перечисленным выше показателям эффективности используются параметры, описывающие каждый из каналов.

4. Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с отказами

Список используемых терминов и обозначений

Формулы для расчетов В теории массового обслуживания доказывается, что показатели эффек-

тивности одноканальной СМО с отказами вычисляются по следующим формулам:

Постановка задачи

Параметры n , λ и µ известны.

Требуется найти ρ, p0 , p1,..., pn , Potk , q , A , Pserv , k .

Формулы для расчетов

Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется по формуле

Поскольку заявка получает отказ, если все каналы обслуживания заняты, то

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

6. Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с ограниченной очередью

Список используемых терминов и обозначений

Постановка задачи Параметры m , λ и µ известны.

Требуется найти ρ, p0, p1 , p2, ..., pm+1 , q , A , Pserv , Potk , r , k , twait , tCMO .

Формулы для расчетов

Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется, как и в предыдущих параграфах, по формуле

Вероятности p0 , p1,..., pm+1 вычисляются по следующим формулам:

7. Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью

Список используемых терминов и обозначений

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 10