2.3 Практическое занятие № 8. Соответствия и их свойства

2.3.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Соответствиеммежду множествамиАиВназывается подмножествоGпрямого произведения этих множеств, т.е., пишут.

Если , то говорят, чтоусоответствует х при соответствииG.

Областью определения соответствияGназывается множествотакое у, что}.

Областью значений соответствияGназывается множествотакое х, что}.

Образом элемента ав множество В при соответствииGназывается множество всех, соответствующих элементу.

Прообразом элемента bв множество А при соответствииGназывается множество всех элементов, которым соответствует.

Образоммножестваназывается объединение образов всех элементов.

Прообразоммножестваназывается объединение прообразов всех элементов.

Если между множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то множества А и В называются равномощными,.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счетными.

Множества, равномощные множеству действительных чисел, называются континуальными.

Соответствие Gназываетсявсюду (полностью) определенным, если. В противном случае соответствиеGопределено частично.

Соответствие Gназываетсясюръективным,если.

Соответствие Gназываетсяинъективным, если каждому образу из области значенийсоответствует единственный прообраз из области определения.

Соответствие Gназываетсяфункциональным (однозначным), если каждому прообразу из области определениясоответствует единственный образ из области значений.

Соответствие Gназываетсявзаимно однозначным (биективным, биекцией),если оно всюду определено, сюръективно, инъективно и функционально.

Отображением А в В называется всюду определенная функция.

Отображением А на Вназывается всюду определенная, сюръективная функция.

Отображение типа А АназываетсяпреобразованиеммножестваА.

Функция типа АА,являющаяся отображением А на А, называется перестановкой на А.

2.3.2 Примеры решения задач

Задача 1.ПустьG– множество всех пар действительных чисел (x,y), удовлетворяющих соотношению. Определить образы и прообразы чисел 2, 3, 4; образы и прообразы отрезков [2, 3], [2, 4]. Каковы свойства соответствияG?

Решение. Для наглядности выполним геометрическую интерпретацию соответствияG(рисунок 6). Образ числа 2 – число 2, образ числа 3 – множество [1, 3], образ числа 4 – число 3.

Прообраз 2 – отрезок [2, 4], прообраз 3 – число 3, прообраз 4 не существует.

Образ [2, 3] – отрезок [1, 3], образ [2, 4] – отрезок [1, 3]. Прообраз отрезка [2, 3] – отрезок [2, 4], прообраз [2, 4] – отрезок [2, 4].

Если допустить, что соответствие Gустановлено на множестве действительных чисел, то оно является: частично определенным, не сюръективным, не функциональным, не инъективным, не взаимно однозначным.

Задача 2.Дано множествои два преобразования этого множества:;. Чему равна композиция преобразований?

Решение.Обычно преобразования конечных множеств записываются так:

;.

Поскольку при преобразовании α элемент 1 переходит в 3, а при преобразовании β элемент 3 переходит в 1, то в композиции преобразований элемент 1 переходит в 1. Аналогично при преобразовании α элемент 2 переходит в 3, а при преобразовании β элемент 3 переходит в 1, тогда в композиции преобразованийэлемент 2 переходит в 1. Рассуждая аналогично дальше, получим, что при преобразовании:,. Таким образом, композиция преобразований – это новое преобразование:

.

Несложно убедиться в том, что композиция имеет вид:

.