20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Прямая и плоскость пересекаются если т.е. не параллельны ; перпендикулярны, когда , параллельны, если=0, Ах₀+Ву₀+Сz₀+D - означает что векторы n и а перпендикулярны,т.е прям .и плоскость параллельны, но точка М₀ (х₀,у_0,z₀) прямой не принадлежит плоскости.; совпадают когда =0, Ах₀+Ву₀+Сz₀+D=0 – прямая лежит в плоскости.

Синус угла между прямой х=х₀ +а₁t , y=y₀+a₂t , z=z₀+a₃t и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется формулой

21вопрос Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Конические поверхности. Цилиндрические поверхности.

Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии l вокруг неподвижной прямой i - оси вращения поверхности  

    Коническую поверхность вращения получим, вращая прямолинейную образующую l вокруг оси i. При этом образующая l пересекает ось i в точке S, называемой вершиной конуса

 Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичнойформы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

Эллипсоид

     Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид.

Из этого уравнения следует | x | < a, | у | < b, | z | < c, то есть эллипсоид заключён в прямоугольный параллелепипед со сторонами 2·а, 2·b, 2·c. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии.

Однополостный гиперболоид

 Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, так как при замене х на − х, у на − у, z на − z уравнение не меняется.

Двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид

.

 Эллиптический параболоид

     Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид

.

Гиперболический параболоид

 Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

.

 Эллиптический конус

     Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид

.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии: при замене х на - х, у на - у, z на - z уравнение не меняется.

     Цилиндрической поверхностью называется поверхность, полученная движением прямой (образующей), перемещающейся параллельно некоторому вектору и пересекающей во время движения фиксированную линию (направляющую).

В результате получим уравнение искомой цилиндрической поверхности F(x, y, z) = 0. Здесь уравнение направляющей определяется системой уравнений

Уравнение определяет уравнение образующей.

Эллиптический цилиндр

        Уравнение эллиптического цилиндра имеет вид

.

Гиперболический цилиндр

        Уравнение гиперболического цилиндра имеет вид

.