Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При парних п виконується рівність(−1)n − 1 = 0 , тому остаточно маємо

sin x

sin 2x

sin 3x

8 sin x

sin

f (x) = 2π

−

− ...

−

+ ... .

Ця рівність справедлива в усіх точках			x [0;	π], крім точки x = π, в
якій сума ряду дорівнює 0, а значення функції f (π) = π2 .
5. Розкладіть у ряд Фур’є функцію
−1, якщо	x (−1; 0],	f (x + 2)	= f (x)	(рис. 1.10).
f (x) =
2x, якщо x (0; 1),

Розв’язання. Функція f (x) кусково-монотонна, періодична з періодом

2l = 2 , тому її можна розкласти в ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є визначаємо за формулами (1.37):

	0			1			0			1
a0 = ∫ (−1)dx + ∫ 2xdx = − x							+ x2			0		= −1+ 1 = 0;
	−1			0			−1			0
0						1								sin nπx		0
0						1										0
an = ∫ (−1) cos nπxdx + ∫ 2x cos nπxdx = −																+
an = ∫ (−1) cos nπxdx + ∫ 2x cos nπxdx = −														nπ		+
−1						0								nπ		−1
	sin nπx	1		2		1			2						1
	sin nπx	1		2		1			2						1
+2x			−			∫ sin nπxdx =							cos nπx		=
+2x	nπ	0	−		nπ	∫ sin nπxdx =		n	2	π	2		cos nπx		=
	nπ	0			nπ	0		n		π					0

((−1)

− 1) =

якщо n = 2k,

(cos nπ − 1) =

, якщо n = 2k − 1;

n2 π2

−

(2k − 1)

cos nπx

bn = ∫ (−1) sin nπxdx + ∫ 2x sin nπxdx =

−1

nπ

−1

− cos nπx

− cos nπx dx =

(1− (−1)n )−

+2x

−

∫ 2

cos nπ + 0 +

nπ

−

якщо

n = 2k,

sin nπx

(1− 3(−1)

)

n2 π2

nπ

(2k − 1)π , якщо n = 2k − 1.

Отже, ряд Фур’є має вигляд

∞

−4

∞

f (x)

= ∑

cos (2k

− 1) πx −∑

sin 2kπx +

k =1

(2k −1)2 π2

k =1 kπ

∞

+ ∑

sin(2k − 1)

πx.

k =1 (2k − 1)π

Сума ряду Фур’є S(x) задовольняє рівності

f (x), якщо x (−1+ 2k; 2k) (2k; 1+ 2k),

− 0, 5,

якщо x

= 2k,

k Z.

S(x) =

0, 5,

якщо x

= −1+ 2k,

π2

–2π –π

2π

–1 О

1 2 3

– π2

–1

Рис. 1.9

Рис. 1.10

6. На відрізку [1; 4] розкладіть у ряд Фур’є функцію, графік якої зображено на рис. 1.11, а.

Розв’язання. Запишемо задану функцію в аналітичній формі:

	1, якщо x [1; 3),
f (x) =	4 − x, якщо x [3; 4].
	4 − x, якщо x [3; 4].

Далі можна продовжити цю функцію періодично з періодом T = 2l = 3 на всю числову пряму і скористатися для знаходження коефіцієнтів Фур’є

формулами (3.15). Оскільки l = 32 , що є не досить зручно, виконаємо такі

дії. Введемо функцію	f1 (x) , задану на відрізку [0; 4]			формулою
f1 (x)		1, якщо x [0; 3),	(рис.1.11, б).
f1 (x)	=	4 − x, якщо x [3; 4]	(рис.1.11, б).
		4 − x, якщо x [3; 4]
Зрозуміло, що на відрізку [1; 4] функції f1 (x) та				f (x) збігаються.
92

Продовжимо функцію

f1 (x) на проміжок [−4; 0)

непарним способом

(рис. 1.11, б). На відрізку [−4; 4]

утворена функція непарна, і тому її ряд

Фур’є не містить косинусів: a0 = an = 0,

∞

πnx

, l = 4 .

тобто f1 (x) = ∑ bn sin

n=1

Знайдемо коефіцієнт bn :

2 4

πnx

∫

f1 (x) sin

dx =

∫

sin

dx +

∫

(4 − x) sin

4 0

πnx

4 cos

−4 cos

πnx

−

+ (4 − x)

−

cos

dx =

πn

∫3

cos

3πn

− 1 +

3πn

sin πnx

−

cos

−

πn

3πn

−

cos

− 1

cos

sin

πn

Записуємо ряд Фур’є функції

f1 (x) :

∞

3πn

πnx

f1 (x) = ∑

sin

(*)

πn

n=1

Ця рівність справджується для всіх

x [−4; 0) (0; 4] ,

отже,

і на від-

різку [1; 4] , на якому виконується рівність f1 (x) = f (x) . Отже, розвинення

(*) є рядом Фур’є функції f (x) на заданому проміжку.

y = f(x)

О 1 3 4 x

y = f1(x)

3 4 x

–4

3 4

–1

бв

Рис. 1.11

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розкладіть у	ряд Фур’є 2π -періодичні функції, задані на інтервалі
(−π; π).
		x		3,	якщо x (−π; 0),
1. f (x) = x. 2. f (x) = 1+			.	3. f (x) =	якщо x [0; π).
1. f (x) = x. 2. f (x) = 1+		2	.	3. f (x) =
		2		−1,
Розкладіть у ряд Фур’є 2π -періодичну функцію
4. f (x) = x ,	x (0; 2 π], f (x + 2π) = f (x) .

РозкладітьурядФур’єзакосинусамифункції, заданінаінтервалі (0; π) :

5.	f (x) = x	2	. 6.	1,	якщо x (0; π / 2),
5.	f (x) = x		. 6.	f (x) =	якщо x [π / 2; π).
				0,	якщо x [π / 2; π).	π		x
7.	Розкладіть у ряд Фур’є за синусами функцію f (x) =					π	−	x
7.	Розкладіть у ряд Фур’є за синусами функцію f (x) =					4	−
						4	2

жку (0; π) .

Розкладіть у ряд Фур’є функції.

8.	1,	якщо x [−1; 0),	9.	0, якщо x [−3;1),
	f (x) =	якщо x [0; 1).		f (x) =	x [1;3].
	−1,			x, якщо
10. Розкладіть у ряд Фур’є за косинусами функцію					f (x) = 2x

півперіоді (0; 2) .

Відповіді

на промі-

, задану на

∞

sin kx

sin 2x

sin 3x

sin 4x

∞

sin(2k − 1)x

2∑(−1)k +1

2.1 + sin x −

−

+ …. 3.

1 −

∑

k =1

2k − 1

∞

sin kx

π2

∞

cos kx

2 ∞

cos(2k − 1)x

∞

sin 2kx

4. π − 2∑

+ 4∑(−1)k

∑(−1)k +1

. 7. ∑

2k − 1

k 1 k

k =1

π k =1

k 1

∞

sin(2k − 1)πx

∞

πn

πnx

1 ∞

−

∑

sin

(−1)

− cos

cos

∑×

− 1

πn

π k =1

3 n=1

πn

πnx

∞

cos

π(2k − 1)x

3(−1)n+1 + cos

sin

. 10.

4 −

∑

(2k − 1)

πn

k =1

Т.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

3.1. Розкладіть у ряд Фур’є 2π -періодичну функцію f (x) , задану на інтервалі (−π; π) . Побудуйте графік суми ряду Фур’є.

3.1.1. f (x) =		0,	якщо x (−π; 0),
		− 1,	якщо x [0; π).
	x
3.1.2. f (x) =	2x,		ÿêù î	x (−π; 0),
			ÿêù î	x [0; π).
	1,
3.1.3. f (x) =		0,	якщо x (−π; 0),
		+ 2,	якщо x [0; π).
	x
3.1.4. f (x) =	1− x, якщо x (−π; 0),
		− 1,	якщо x [0; π).

3.1.5. f (x) =		0,	якщо x (−π; 0),
			якщо x [0; π).
	x / 2,
	0,		якщо x (−π; 0),
.1.6. f (x) =		+ 3,	якщо x [0; π).
2x
3.1.7. f (x) =	3 − x, якщо x (−π; 0),
		1,	якщо x [0; π).

0, якщо x (−π; 0),

3.1.8.f (x) = x − 2, якщо x [0; π).

0, якщо x (−π; 0),

3.1.9.f (x) = 4x − 3, якщо x [0; π).

4 − x, якщо x (−π; 0), 3.1.10. f (x) =

−1, якщо x [0; π).

3.1.11.		1,	якщо x (−π; 0),
	f (x) =		якщо x [0; π).
	2x − 5,
3.1.12.	3 − 2x, якщо x (−π; 0),
	f (x) =	0,	якщо x [0; π).

3.1.13.		1,	якщо x (−π; 0),
	f (x) =
	π − 2x, якщо x [0; π).

3.1.14.	5x + 1,		якщо x (−π; 0),
	f (x) =	0,	якщо x [0; π).

3.1.15.		0,	якщо x (−π; 0),
	f (x) =		якщо x [0; π).
	1− 2x,
3.1.16.	3x + 2,		якщо x (−π; 0),
	f (x) =	0,	якщо x [0; π).

3.1.17.		0,	якщо x (−π; 0),
	f (x) =	− 2x, якщо x [0; π).
	4
3.1.18.	x + π,		якщо x (−π; 0),
	f (x) =	0,	якщо x [0; π).

0, якщо x (−π; 0),

3.1.19.f (x) = 6x − 5, якщо x [0; π).

3.1.20.	π − 2x, якщо x (−π; 0),
	f (x) =	0,	якщо x [0; π).

3.1.21.f (x)

3.1.22.f (x)

3.1.23.f (x)

3.1.24.f (x)

3.1.25.f (x)

3.1.26.f (x)

0, якщо x (−π; 0),

π − x, якщо x [0; π).

π + x, якщо x (−π; 0),

0, якщо x [0; π).

0, якщо x (−π; 0),

=2x − 3, якщо x [0; π).

	π	− 2x, якщо	x (−π; 0),
	2	− 2x, якщо	x (−π; 0),
=	2
		0, якщо x [0; π).
		0, якщо x [0; π).

0, якщо x (−π; 0),

π + 2x, якщо x [0; π).

		x	, якщо x (−π; 0),
1	−
1	−	2
=		2
	0,		якщо x [0; π).
	0,		якщо x [0; π).

			0,	якщо x (−π; 0),
3.1.27.
	f (x) = x		− 1,	якщо x [0; π).

		3

3.1.28.	1+ 2x, якщо x (−π; 0),
	f (x) =		0,	якщо x [0; π).

3.1.29.			0,	якщо x (−π; 0),
	f (x) =
	3x − 5, якщо x [0; π).
3.1.30.	1− 3x, якщо x (−π; 0),
	f (x) =		0,	якщо x [0; π).

3.2. Функцію f (x) ,				задану на відрізку [0; l], розкладіть у ряд Фур’є:

а) за синусами; б) за косинусами.

x для x [0;1),

3.2.1. f (x) =

2 для x [1; 2].

x − 1 для x [0; 2),

3.2.3. f (x) =

1 для x [2; 4].

3.2.5.	1− x для x [0;1),
	f (x) =	− 1 для		x [1; 2].
	x
3.2.7.	2	− x для		x [0; 2),
	f (x) =	0	для	x [2;3].

3.2.9.	x − 1 для			x [0;1),
	f (x) =	0	для	x [1; 4].

	x для x			[0;1),
3.2.11.			для x	[1; 2],
	f (x) = 1
				(2;3].
	2 для x

3.2.13. f (x) = 2 − x для x [0; 4].

		x	для x [0;1),
3.2.15.		1	для x [1; 2],
3.2.15.	f (x) =	1	для x [1; 2],
	3 − x для x (2; 3].

2 − x для x [0;1),

3.2.17. f (x) =

1 для x [1; 4].

			1	для x [0; 2),
3.2.2. f (x) =
	3 − x для x [2;3].
3.2.4.	− 1				для x [0;1),
	f (x) =		− x для x [1;3].
	2
3.2.6.	2 для x [0; 2),
	f (x) =			для x [2;5].
	− 1
3.2.8.			x		для x [0;1),
	f (x) =		− x для x [1; 2].
	2
3.2.10. f (x) =			0		для x [0; 2),

		2 − x для x [2; 4].
		− x для x [0;1),
3.2.12.	f (x) =		1	для x [1; 2],


		−1 для x (2;3].
3.2.14.	f (x) = x для x [0; 6].
		1− x			для x [0;1),
3.2.16.	f (x) =		0		для x [1; 2],

					для x (2; 3].
		x − 2

− x для x [0;1),

3.2.18.f (x) = x − 2 для x [1; 2].

		0	для x [0;1),
3.2.19.			для x [1; 2],
	f (x) = x − 2
	3 − x для x (2; 3].
			для x [0;1),
3.2.21.	− 1
	f (x) =
	x − 2 для x [1; 2].
	2 для x [0;1),
3.2.23.		1 для x [1; 2],
	f (x) =
		0 для x (2; 3].

	− 1 для x [0;1),
3.2.25.		x для x [1; 2],
	f (x) =
		2 для x (2; 3].

3.2.27.	f (x) = x − 3 для x [0; 6].
3.2.29.	− 2 для x [0; 2),
	f (x) =	3 для x [2; 3].

		1	для x [0;1),
3.2.20.
	f (x) = 2 − x для x [1; 2],
		0	для x (2; 3].

3.2.22.	− 2		для x [0; 2),
	f (x) =	1	для x [2; 4].

	−1 для x [0;1),
3.2.24.		0 для x [1; 3],
	f (x) =
		2 для x (3; 4].

	− x		для x [0;1),
3.2.26.		0	для x [1; 3],
	f (x) =
		x для x (3; 4].

3.2.28.	f (x) = − x для x [0; 4].
3.2.30.	− 3 для x [0; 3),
	f (x) =	1 для x [3; 5].

Тема 4. ІНТЕГРАЛ ФУР’Є

Інтеграл Фур’є. Перетворення Фур’є. Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій. Інтеграл Фур’є в комплексній формі. Косинуста синус-перетворення Фур’є. Спектральна щільність, амплітудний та фазовий спектри.

Література: [9, розділ 9, §4], [14, розділ 3, §5], [15, розділ 13, п. 13.5], [16, розділ 17, §12—14], [17, розділ 6, §22].

Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

4.1. Інтеграл Фур’є. Перетворення Фур’є

Як відомо (див. тему 3), будь-яку кусково-монотонну функцію, визначену на скінченному проміжку, можна розкласти в ряд Фур’є, тобто зобразити нескінченною сумою простих гармонік. Для функцій, заданих на не-

скінченному проміжку (−∞; ∞) , аналогом ряду Фур’є є інтеграл Фур’є. Нехай неперіодична функція f (x) визначена на нескінченному проміжку

(−∞; ∞) , на будь-якому скінченному проміжку [−l; l] задовольняє умови Діріхле ієабсолютно інтегровною, тобтозбігається невласний інтеграл

∞

∫

f (x)

dx < ∞ .

−∞

Тоді на проміжку

[−l; l] цю функцію можна розкласти в ряд Фур’є

(1.35). Підставивши в цей ряд значення коефіцієнтів

a0 ,

an , bn із формул

(1.36), дістанемо

∞

f (x) =

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t)(cos ωn t cos ωn x + sin ωn t sin ωn x)dt =

−l

n=1 −l

(1.41)

∞

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos ωn (t − x)dt.

−l

n=1 −l

Тут ω = πn ( n = 1,

2,... ) ― хвильові числа функції f (x) . Позначимо

= π

− ω

= Δω

( n = 1, 2,... ).

n+1

Тоді формула (1.41) набере вигляду

∞

f (x) =

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos ωn (t − x)dt πl ,

або

−l

n=1 −l

∞

f (x) =

∫

f (t)dt +

∑

∫

(t) cos ω (t − x)dt

Δω .

−l

π n=1

−l

Перейдемо до границі при

l → ∞ .

Перший доданок у правій частині

останньої формули прямує до нуля. Справді,

lim

∫

f (t)dt ≤ lim

∫

f (t)

dt < lim

0 .

l→∞

−l

l→∞

−l

l→∞

Введемо позначення

ϕ(ωn )

Тоді

f (x)

=∫ f (t) cos ωn (t − x)dt.

−l

	1		∞
=		lim	∑ ϕ(ωn )Δωn .	(1.42)

	π l→∞ n=1

Права частина формули (1.42) нагадує інтегральну суму (можна довести, що так і є насправді) для функції

ϕ(ω) = ∫ f (t) cos ω(t − x)dt, ω (0; ∞).

−l

При l → ∞ Δωn → 0 , тобто хвильові числа ωn набувають усіх можли-

вих значень від 0 до +∞ ; дискретний спектр хвильових чисел стає неперервним. Остаточно формула (1.42) набирає вигляду

					1	∞
		f (x) =			1	∫ ϕ(ω)dω
		f (x) =			π	∫ ϕ(ω)dω
					π	0
або						0
або
		1	∞	∞
			∫	∫
	f (x) =				f	(t) cos ω(t − x)dt dω.	(1.43)
		π	0 −∞

Формула (1.43) називається формулою Фур’є, а інтеграл у правій частині ― інтегралом Фур’є для функції f (x) . Ця формула справджується для

всіхточок x, вяких функція					f (x) неперервна. Якщо x0 ―точкарозриву, то
1		∞	∞			f (x + 0) + f (x − 0)
		∫	∫			0	0
				f (t) cos ω(t − x)dt dω =				.
	π	0 −∞					2

Запишемо інтеграл Фур’є в іншому вигляді:

∞

∫

f (x) =

f (t) cos(ωt − ωx)dt dω =

0 −∞

∞

∫

f (t)(cos ωt cos ωx

+ sin ωt sin ωx)dt dω =

0 −∞

∞

∫

(t) cos ωtdt cos ωxdω +

f (t) sin ωtdt sin

ωxdω.

0 −∞

Введемо позначення

∞

a(ω)

∫ f (t) cos ωtdt,

b(ω) =

∫ f (t) sin ωtdt,

(1.44)

−∞

тоді

∞

f (x) = ∫ (a(ω) cos ωx + b(ω) sin ωx)dω.

(1.45)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251 Мб406_ РМ_КЛ.doc
#
01.04.20251 Мб1607 Лц Нагруз на крыло.DOC
#
01.07.2025182 Кб007_БДСГ_МР_ДЗ (1).docx
#
01.07.2025122 Кб308_ММ_МР_КрЗ.doc
#
19.02.20162 Мб310887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20164 Мб740887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
01.04.2025905 Кб1009 Лц Норм и кас напряж.doc
#
01.07.2025342 Кб109_УП_МР_КР.doc
#
01.05.2025505 Кб11 (2).rtf
#
19.09.2019106 Кб41 000 000 $.doc
#
16.11.20191 Мб51 Lab (Neuro).docx