Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Визначимо n таким, щоб похибка наближеної рівності

e ≈ 1+

+ …+

2 1!

22 2!

23 3!

2n n!

не перевищувала заданої точності. Для цього оцінимо залишок

+ …=

2n+ 2 (n + 2)!

2n+3 (n

2n+1 (n + 1)!

+ 3)!

+ … <

n+1

(n + 1)!

2(n + 2)

(n + 2)(n + 3)

+ …

n+1

1)!

2(n +

(n +

(n + 2)

2(n + 2)

n + 2

2n+1 (n + 1)!

−

2n+1 (n + 1)!

2n + 3

2n (2n + 3)(n + 1)!

2(n + 2)

Добором встановлюємо, що нерівність

n + 2

< 0, 001 ви-

конується, починаючи з n = 4 . Отже,

2n (2n + 3)(n + 1)!

e ≈ 1+

≈

22 2! 23

3! 24

≈ 1+ 0, 5 + 0,125 + 0, 0208 + 0, 0026 = 1, 6484.

Для обчислення логарифмів використання ряду

ln(1+ x) = x −

− …+

(−1)

n−1

+ … ( −1 < x ≤ 1)

є неефективним через його повільну збіжність. На практиці зручнішою є формула

1+ x

2n−1

x (−1; 1).

= 2 x +

+ …+

+ … ,

1− x

2n − 1

Похибка цієї формули оцінюється нерівністю

(1.21)

| rn (x) |= 2

x2n+1

x2n+3

+ …

2n + 1

2n + 3

< 2

|x|2n+1

(1+ x2 + x4 + …) = 2

|x|2n+1

2n + 1

(2n

+ 1)(1− x2 )

Покладемо у формулі (1.21)

x =

, t

N , дістанемо формулу для

2t + 1

обчислення логарифмів натуральних чисел

ln(t + 1) = ln t +

+ …+

+ … ,

(1.22)

2n−1

2t + 1

3(2t + 1)

(2n − 1)(2t + 1)

причому

| rn (t) | <

2(2n + 1)t(t

+ 1)(2t + 1)2n−1

18. Обчисліть ln 2 з точністю ε = 0, 001.

Розв’язання. Поклавши у формулі (1.22) t = 1, дістанемо

ln 2 = 2

+ …+

+ … .

2n−1

(2n − 1)

3 3

Шляхом добору визначимо n так, щоб виконувалась нерівність

rn (1) <

4(2n

+ 1) 32n−1

Маємо: r (1) <

r (1) <

< 0,001.

4 5 33

180

4 7 35

6804

Отже,

n = 3 і для обчислення ln 2 дістаємо наближену рівність

ln 2 ≈

≈ 2(0, 3333

+ 0, 0123

+ 0, 0008) ≈ 0, 693.

3 3

5 3

19. Обчисліть 2 e− 2 dx з точністю 0, 001.

∫ x ε =

Розв’язання. Застосувати формулу Ньютона―Лейбніца неможливо, оскільки невизначений інтеграл ∫ e− x2 dx не виражається через елементар-

ні функції. Для обчислення інтеграла розкладемо підінтегральну функцію у степеневий ряд і скористаємося властивістю про почленне інтегрування степеневого ряду. Дістанемо

− x2

n x2n

∫

e dx =

− x +

−

+ …+ (−1)

… dx =

n x2n+1

= x −

−

+ …+

(−1)

+ …

3 5 2! 7 3!

(2n + 1) n!

−

+ …+ (−1)n

+ …

23 3 25 5

2! 27 7 3!

22n+1 (2n + 1) n!

Оскільки цей ряд є альтерновним і задовольняє умови теореми Лейбніца, то згідно з наслідком з цієї теореми визначаємо найменший номер n, для якого виконується нерівність

	1	< 0, 001,	або 22n+1 (2n + 1) n! > 1000 .
22n+1	(2n + 1) n!

Ця нерівність виконується починаючи з n = 3 . Тому, взявши перші три члени ряду, дістанемо

1
2	2		1		1				1
∫ e− x	2	dx ≈	1	−	1		+		1	≈ 0, 5	− 0, 0417	+ 0, 0031 ≈ 0, 461.
∫ e− x		dx ≈	2	−	3	3	+	5	5 2!	≈ 0, 5	− 0, 0417	+ 0, 0031 ≈ 0, 461.
0			2		2	3	2		5 2!

20. Знайдіть наближений розв’язок задачі Коші y′ = x2 + y3 , y(0) = 1 ,

обмежившись чотирма ненульовими членами розвинення цього розв’язку у степеневий ряд.

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді ряду Маклорена

y = y(0) +

y′(0)

x +

y′′(0)

y′′′(0)

... +

y(n) (0)

+ ...

З умови задачі записуємо перші два коефіцієнти

y(0) = 1, y′(0) = 02 + 13 = 1.

Диференціюємо вихідне рівняння:

y′′ = 2x + 3y2 y′ . Підставивши в одер-

жане рівняння значення

x = 0, y(0) = 1

та y′(0) = 1,

дістанемо коефіцієнт

y′′(0) = 0 + 3 = 3 . Тепер переходимо до рівняння

y′′′ = 2 + 3(2 y( y′)2 + y2 y′′).

Тоді y′′′(0) = 2 + 3(2 + 3) = 17.

Отже, наближений розв’язок задачі Коші ви-

значається формулою

y ≈ 1+ x + 32 x2 + 176 x3 .

Ця формула тим точніша, чим ближча змінна x до нуля.

									Т.2	ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ
										І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Знайдіть область збіжності функціональних рядів.
	∞				1						∞			1					∞		x	n
1.	∑				1			.		2.	∑			1		.		3.	∑		x		.
1.	∑			2			4	.		2.	∑			1		.		3.	∑			2n	.
	n=1 n				+ x						n=1								n=1	1+ x
	n=1 n				+ x						n=1		nsin x						n=1	1+ x
													nsin x
														n(n−1)
	∞		1								∞				2				∞			1
4.	∑		1			.				5.	∑	x					.	6.	∑			1			.
4.	∑					.				5.	∑			n!			.	6.	∑						.
	n=1	2nx									n=1			n!					n=1 n3 (x2 +					2)
	∞		(1−n)x								∞				n				∞	1 x + 1				n+1
7.	∑ e						.			8.	∑ n ln					x.		9.	∑					.
7.	∑ e						.			8.	∑ n ln					x.		9.	∑					.
	n=1										n=1								n=1 n x − 1

Дослідіть на рівномірну збіжність функціональні ряди на вказаному проміжку.

	∞			1
10.	∑			1		,		x (−∞; ∞).
10.	∑	5	n	+ x	2	,		x (−∞; ∞).
	n=1	5		+ x
	∞			x2
12.	∑						,	x (−∞; ∞).
12.	∑	1+ n2 x2					,	x (−∞; ∞).
	n=1	1+ n2 x2
	∞
14.	∑ )n			+ 1)xn ,				x (−1; 1).

n=1

	∞
11.	∑	cos nx	,	x (−∞; ∞).

	n=1 n!+ x6
	∞
13.	∑ e−nx ,		x (0; ∞).
	n=1
	∞
15.	∑ nxe− nx ,			x [0; ∞).

n=1

Знайдіть область збіжності степеневих рядів.

∞

16.

∑

17.

∑

18. ∑

19. ∑

(2n +

n=1 n3

n=1

4 n + 1

n=1

1)!

n=1 n ln(n + 1)

∞

(x − 3)

∞

20.

∑

21.

∑ nn (x

+ 2)n+1. 22. ∑ (2n + 3) 5n (x − 1)n .

n2n+1

n=1

∞

n2 −1

xn2 .

23.

∑

24.

∑

25. ∑

2n + 5n

n=0

+ 1

n=1

Знайдіть інтервал збіжності степеневих рядів.

∞

n − 1

∞

x2n

∞

(n!)2

26. ∑

(x − e)

27. ∑

28. ∑

(2n)!

n=1

n + 1

n=0

Знайдіть суму степеневих рядів.

∞

29. ∑ n2 xn .

n=1

∞	x	n		∞	x	n+1
30. ∑			.	31. ∑			.
	n				n!
n=1				n=1

Розкладіть у ряд Тейлора за степенями x − x0 функції:

32.		1	,		x		= 2.									33.				1			,		x	= −1.
32.			,		x		= 2.									33.							,		x	= −1.
		x			0														3x + 1						0
		x																	3x + 1
34. ln(x2 + 2x + 2), x = −1.																35.				1					,	x = −2.
34. ln(x2 + 2x + 2), x = −1.																35.									,	x = −2.
													0						(x + 3)2							0
																			(x + 3)2
36.			1						,		x		= −2.			37.			xe2x−1 ,						x	= 1.
36.									,		x		= −2.			37.			xe2x−1 ,						x	= 1.
		(x + 3)3								0															0
		(x + 3)3
Розкладіть у ряд Маклорена функції:
38.	2x cos2 x.												39.	x	.					40.					1		.
													1	− x3										2x − 3
41.				2x + 3							.		42. ln(3 + 6x).							43. (1+ x2 )e− x .
41.											.		42. ln(3 + 6x).							43. (1+ x2 )e− x .
	x2 + 3x +									2
Обчисліть значення функцій із точністю ε.
44.	3 130,							ε = 0, 0001.								45.	1	,		ε = 0, 001.
44.	3 130,							ε = 0, 0001.								45.	3 e	,		ε = 0, 001.
																	3 e
46. cos10°,									ε = 0, 0001.							47. arctg				1	,	ε = 0, 001.
46. cos10°,									ε = 0, 0001.							47. arctg					,	ε = 0, 001.
																				3
48.	ln 3,				ε = 0, 0001.											49. ln 0, 98,						ε = 0, 0001.
Обчисліть визначені інтеграли із точністю ε.
		1
	2			sin x												1
50.		∫		sin x		dx ,						ε = 0, 0001.				51. ∫ cos x2 dx,									ε = 0, 0001.
50.		∫				dx ,						ε = 0, 0001.				51. ∫ cos x2 dx,									ε = 0, 0001.
	0			x												0
	0															0

	1						1
2			dx			3		dx
52. ∫					, ε = 0, 001.	53. ∫			, ε = 0, 001.
		1+ x		4
0						0		1+ x4

Знайдіть наближений розв’язок задачі Коші, обмежившись чотирма ненульовими членами розвинення цього розв’язку у степеневий ряд.

54.	y′ = xy + ey ,	y(0) = 0 .
55.	y′ = y3 + x	y,	y(0) = 1.
56.	xy′ = x2 y2 − y + 1, y(0) = 2.
57.	y′′ = yy′ − x2 ,		y(0) = 1, y′(0) = 1.

Відповіді

1. (−∞; ∞). 2. (2πk; π + 2πk). 3. x ≠ ±1. 4. (0;∞). 5. [−1; 1]. 6. (−∞; ∞). 7. (0;∞).

8. (e−1; e). 9. (−∞; 0]. 10. Збігається рівномірно. 11. Збігається рівномірно. 12. Збігається рівномірно. 13. Збігається нерівномірно. 14. Збігається нерівномірно. 15. Збіга-

ється нерівномірно.

16. [−1; 1]. 17. [−1; 1).

18. [−1; 1]. 19. [−1; 1).

20.

[1; 5).

21. x = −2.

22.

(−0, 2; 0,2) .

23.

(−5; 5).

24.

(−2; 2).

25. [−0,5; 0,5).

26. (0; 2e).

27. (−

2e;

2e).

∞

28.

(−4; 4). 29. x(x + 1) /(1− x)3,

| x |< 1.

Вказівка. Подайте ряд у вигляді

∑n2xn =

∞

n=1

= x2 ∑n(n − 1)xn− 2 +x∑nxn−1 , після чого розгляньте ряд

∑ xn і скористайтесь влас-

n=1

n=0

xex ,

тивістю про почленне диференціювання цього ряду. 30.

− ln |1 − x | .

31.

x R.

∞

n (x − 2)n

∞ 3n (x + 1)n

∞

n+1 (x + 1)2n

32. ∑ (−1)

, x (0; 4).

33.

− ∑

−

;

−

34.

∑

(−1)

n+1

n=0

n=1

∞

∞ (−1)n+1n(n − 1)

x [−2; 0].

35. ∑(−1)n n(x +2)n−1,

x (−3; − 1).

36. ∑

(x + 2)n−2,

x (−3; − 1).

n=1

∞

−1

(n +

2n+1

37.

e 1 +

∑

(x − 1)n

x R.

38. 2x

−

…

(

−

…

(2n)!

n=1

∞

(2x)n

∞

3n+1

… x R.

39.

∑ x

, −1 < x < 1.

40. − ∑

| x |<

41.

∑

(−1)

1 +

n+1

n=0

∞

−1 < x < 1.

42. ln 3 + ∑(−1)n−1

, x (−0,5; 0,5].

43. 1 − x + ∑ (−1)n

xn,

n=1

n=2

(n − 2)!

x R. 44. 5,0658. 45. 0,716. 46. 0,9948. 47. 0,321. 48. 1,0986. 49. – 0,0202. 50. 0,4931.


51. 0,9045. 52. 0,494. 53. 0,333. 54.								y ≈1 +		x2	+			2	x3		+	11	x4	. 55.	y ≈1 + x + 2x2 +	19	x3.
									2				3					24				6
56. y ≈1 +	x2	+	2x4	+	17x6		. 57. y ≈ 1 + x +		x2		+	x3				.
56. y ≈1 +	3	+	15	+		315	. 57. y ≈ 1 + x +		2		+		3			.
	3		15			315			2				3

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2.1. Знайдіть область збіжності функціональних рядів.

∞

n+1

(2x − 5) .

2.1.1. а)

∑

;

б) ∑ xn sin

;

в)

∑

4 + xn

n=1

n n

n=1

∞

1− x

2.1.2. а)

∑

;

б)

∑ xn tg

;

в)

∑

n=1

1− 2x

∞

(−1)

n+1

∞

arctg(nx)

2.1.3. а)

∑

;

б)

∑ 2n x3n arcsin

; в)

∑

n=1

n=2

n ln4 n

∞

(5x + 2) .

2.1.4. а)

∑

2n+1 sin

;

б)

∑

;

в)

∑

n=1

1+ x2n

n=1

7n+ 2

∞

n + 1

∞

2.1.5. а)

∑

tgn

(3 x) ;

б)

∑

;

в)

∑

x nx+ 2

(3n + 1)x

n=1 n3

n=1

∞

x + 1

n+1

2.1.6. а)

∑

;

б)

∑ ln

(2x

− 1) ;

в)

∑

n! x

n=1

x − 2

∞

tgn (2x) .

2.1.7. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

n=1

1+ x

n=1 n!(x + 1)

n=1 n

∞

(−1)

n−1

2.1.8. а)

∑ (15 − x2 )n

;

б)

∑ e− n2x ;

в)

∑

n=1

(x − 1)

∞

2 n

∞

(−1)n+1

∞

x + 1

2.1.9. а)

∑

x ;

б)

∑

;

в)

∑

+ n

x − 1

n=1

∞

3n + 2

∞

2.1.10. а) ∑ (8

− x2 )n ;

б)

∑

;

в)

∑ ne−nx .

x nx+1

n=1

∞

sin nx

2.1.11. а)

∑

;

б)

∑

x4n sin

;

в)

∑

n=1

4 + xn

n=1

n=2

n ln3 n

∞

3n sin2 n x

∞

2.1.12. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

(

)(

)

ln (x − e)

n=1

n=1 n + 1 x − 3

n=1

∞

2n + 1

∞

2.1.13. а)

∑

;

б)

∑

;

в)

∑

n=1

lnn

n=1

(n + 1)5 x2n

n=1

(4n − 3)x+1

∞

sin(2n − 1)x

∞

2.1.14. а)

∑ (n + 1)en x

;

б)

∑

;

в)

∑

n=1

(2n − 1)2

n=1 n (x2 − 1)n

∞

(4x − 1)

2.1.15. а)

∑

;

б)

∑ 27n x3n arctg

;

в)

∑

n=1 xn

n=1

(n + 2)3n

∞

2.1.16. а)

∑ ne−n x

;

б)

∑

;

(x +

n=1

n=1 ln

∞

cos πnx

2.1.17. а)

∑ xn tgn

;

б)

∑

;

n=1

n=2

n ln2 n

∞

2.1.18. а)

∑

;

б)

∑

sinn

x ;

(x + e)

n=1 ln

n=1

∞

2.1.19. а)

∑

;

б) ∑ ne−nx ;

n=1

3 n4

n=1

∞

n x

∞

2.1.20. а)

∑

;

б)

∑

;

n x

n=1

(x − 2)

∞

2.1.21. а) ∑

sinn x ;

б) ∑

;

n=1

∞

3 n

∞

2.1.22. а)

∑

3 sin

;

б)

∑ n sin

;

n=1

∞

в)

∑

n=1

∞

в)

∑

(5n − 3)2x

n=1

в) ∑ (3x + 2)

∞

n=1

n2n

∞

в)

∑

n=1

∞

sin

в)

∑

n=1

(

)

в)

∑

x2 − 2

∞

n=1

4n (n2 + 2)

в)

∑

(x − 1)

∞

3n+1

n=1

27n n

∞

(5 − x2 )n ;

2.1.23. а)

∑

;

б)

∑

n=1 n + x2

n=1

∞

(−1)

∞

2.1.24. а)

∑

;

б) ∑

;

(

)(

)

n=1 (n − x)1/ 2

n=1

n +

x − 1

∞

2.1.25. а)

∑

;

б)

∑

;

2n x +

n=1

∞

2 + x

∞

+ 1)

2.1.26. а)

∑

;

б)

∑

;

2 − xn

n=1

3 n4

∞

n + 2

∞

(−1)n−1

2.1.27. а)

∑

;

б)

∑

;

x+1

− 5)

n=1

n=1 n 3 (x

∞

sin nx

2.1.28. а)

∑

;б) ∑

;

n (n + x2 )

n=1

∞

(−1)

∞

2.1.29. а)

∑

; б)

∑

tg2n

x ;

n=1

(x4 + n)2

n=1 n

∞

(−1)n

∞

2.1.30. а)

∑

;

б)

∑

;

x +

+ 1

n=1

∞

−1

(

3x−)2 .

в)

∑

n=1 n

∞

в)

∑

n=1

∞

в) ∑

n=1 e

∞

sin

в)

∑

n=1

∞

в)

∑

tg2n x .

n=1

∞

x2n

в)

∑

4n (2n − 1)

n=1

(

)

n+1

∞

−1

в)

∑

2x+1 .

n=1

∞

−

в)

∑

n=1

2.2. Використовуючи ознаку Вейєрштрасса, доведіть рівномірну збіжність функціональних рядів на вказаному проміжку.

∞

(sin x +

3 cos x)

∞

2.2.1. ∑

, x R.

2.2.2. ∑ sin

, x R.

n=1

∞

n + 1

∞

2.2.3. ∑

, x R.

2.2.4. ∑

x [−1; 1].

+ x

+ 1

n=1

n=1 n

∞

− nx

∞

2.2.5. ∑

, x [0; ∞).

2.2.6. ∑ 2−n sin

, x R.

n=2

n=1

∞

cos

∞

2.2.7. ∑

, x R.

2.2.8. ∑

, x R.

n=1 x + n

n=1

+ x

∞

2.2.9. ∑

(sin x − 3 cos x)

x R.

n=1

∞

(3x)n

2.2.11. ∑

, x

−

;

n=1 n(1+ n)

∞

2.2.13. ∑

, x [0;

∞).

n=1

1+ xn

∞

2.2.15. ∑

n=2

∞

2.2.17. ∑

n=1

∞

2.2.19. ∑

n=1


	xn
		, x [−1; 1].
	n ln2 n
(sin x − cos x)n				, x R.
	2n

	n + 1		, x [0;		∞).
(2x + n)4

∞			2	x
2.2.21. ∑	2−n cos		2			, x R.
2.2.21. ∑	2−n cos		n			, x R.
n=1			n
∞		\| x \|
2.2.23. ∑		\| x \|			,	x R.
2.2.23. ∑	3+ \| x \| n2				,	x R.
n=1	3+ \| x \| n2
∞		n + 2
2.2.25. ∑		n + 2		,		x R.
2.2.25. ∑		n4 + \| x \|		,		x R.
n=1		n4 + \| x \|

∞1

2.2.27.n∑=1 (2x + n)2 , x [0; ∞).

∞	4n xn			1		1
2.2.29. ∑		, x	−		;		.
	+ 3 n7
n=1 2				4		4

∞

−nx

2.2.10. ∑

x [0; ∞).

n=2

∞

2.2.12. ∑

, x R.

4 + x4 n2

n=1

∞

2.2.14. ∑

x [0; ∞).

(x + n)3

n=1

∞

−nx

2.2.16. ∑

x [0; ∞).

n=2

∞

sin

2.2.18. ∑

, x R.

n=1

∞

, x [−1; 1].

2.2.20. ∑

n=2 n ln3

∞

−nx

2.2.22. ∑

, x [0; ∞).

n=2

2n4 + 1

∞

2.2.24. ∑

x [−1; 1].

+ n

n=1 n

∞

cos nx

2.2.26. ∑

, x R.

+ n

n=1 x

∞

(sin x +

2.2.28. ∑

, x R.

n=1

∞3sin nx

2.2.30.n∑=1 x4 + n3 , x R.

2.3. Знайдіть область збіжності степеневих рядів.

∞

(x − 2)

∞

2.3.1. ∑

2.3.2. ∑

(x + 5)n tg

n=1

(3n + 1) 2n

n=1

∞

(3n − 2)(x −

∞

(x + 2)

2.3.3. ∑

2.3.4. ∑

(n + 1)2 2n+1

(2n + 1) 3n

n=1

∞

(−1)

− 3)

∞

2.3.5. ∑

2.3.6. ∑ sin

− 2)n .

(n + 1) 5n

n + 1

n=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251 Мб406_ РМ_КЛ.doc
#
01.04.20251 Мб1507 Лц Нагруз на крыло.DOC
#
01.07.2025182 Кб007_БДСГ_МР_ДЗ (1).docx
#
01.07.2025122 Кб308_ММ_МР_КрЗ.doc
#
19.02.20162 Мб310887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20164 Мб740887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
01.04.2025905 Кб1009 Лц Норм и кас напряж.doc
#
01.07.2025342 Кб109_УП_МР_КР.doc
#
01.05.2025505 Кб11 (2).rtf
#
19.09.2019106 Кб41 000 000 $.doc
#
16.11.20191 Мб51 Lab (Neuro).docx