Тема 3. Транспортна задача

Нехай є m постачальників з запасами сировини іn споживачів з потребами , і нехай сукупні запаси виробників дорівнюють сукупним потребам споживачів (). В даному випадку задачу називають замкнутою. Відомі також вартості перевезеньодиниці сировини від постачальникаі до споживача j, (за маршрутом і - j).

Побудувати план перевезень, що забезпечує їх мінімальну вартість.

Позначимо кількість перевезень за маршрутом i-j через , тоді

- обмеження на вивіз (3.1)

(сировина повинна бути вивезена повністю);

- обмеження по потребах (3.2)

(потреби повинні бути задоволені повністю);

, ,- обмеження невід’ємності; (3.3)

- критерій оптимальності. (3.4) Сукупність (3.1), (3.2), (3.3) і (3.4) називається транспортною задачею.

Зауваження3.1. Ми бачимо, що при кількість змінних більша за кількість рівнянь, тобто система (3.1), (3.2) має безліч розв’язків. Крім того, система рівнянь (3.1), (3.2) є лінійно залежною, кількість лінійно незалежних рівнянь дорівнює.

Оскільки транспортна задача є ЗЛП, записаною в канонічній формі, то вона може бути розв’язана симплекс-методом, але особливістю цієї задачі є те, що коефіцієнти при всіх змінних дорівнюють 0 або 1.

Метод потенціалів розв’язання транспортної задачі

Цей метод є спрощенням симплекс-метода пристосованим до розв’язання транспортної задачі. Оскільки кількість лінійно-незалежних рівнянь в системі виробничих обмежень (3.1), (3.2) дорівнює , то базисних змінних повинно бути не більше. Якщо їх кількість менша, то задача буде виродженою.

Для розв’язання методом потенціалів, зазвичай, транспортну задачу зручно записувати у наступній таблиці:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Кількість базисних змінних - , томуклітин будуть заповненими, а інші – вільними, або пустими.

Алгоритм методу потенціалів.

Крок 1

На першому етапі побудуємо опорний (початковий) базисний розв’язок.

Метод Північно-Західного кута (діагональний)

В ліву верхню клітину (1;1) заносимо менше із чисел ,. Далі викреслюємо рядок або стовпчик, для якого кількість сировини вичерпана, а іншу величину зменшуємо наі переходимо до клітини (1;2) або (2;1) в залежності від того, яка з них залишилась у розгляді. Поступаємо так само, поки не дійдемо до клітини (m,n).

Якщо на жодному кроці, крім останнього, , то в результаті матимемозаповнених клітин. На останньому кроці обов’язково повинна виконуватись рівність.

Зауваження 3.2. Якщо на деякому кроці , то із розгляду викреслюємо або рядок або стовпчик, а в наступну клітину записуємо «0», і вважаємо її заповненою, але з кількістю «0».

Метод мінімальної вартості

Знаходимо клітину (маршрут) з мінімальною вартістю перевезень і вносимо в неї кількість . Викреслюємо рядок або стовпчик, для якого кількість сировини вичерпана. Далі знаходимо клітину з найменшою вартістю перевезень із тих, що залишились у розгляді і поступаємо аналогічно. На кроцізалишиться лише одна невикреслена клітина (k;l), для якої . Зауваження 3.2 залишається в силі.

Крок 2

Перевіряємо побудований план на оптимальність. Перевірка проводиться за допомогою так званого «методу потенціалів». Кожному постачальнику і кожному споживачу приписуються потенціали та . Для заповнених клітин записуємо систему:

(3.5)

Оскільки кількість невідомих () більша за кількість рівнянь (), то система (3.5) має безліч розв’язків.

Покладемо одне з невідомих рівним нулю. Після чого однозначно визначимо інші.

Знайдемо оцінки вільних клітин за формулою:

(3.6)

1) Якщо оцінки всіх вільних змінних невід’ємні, то даний розв’язок є оптимальним. При цьому, якщо всі вони додатні, то він єдиний, а якщо серед них є нулі, то мінімумів безліч, і знайдений нами є один із них.

2) Якщо серед оцінок вільних змінних є від’ємні, то розв’язок не є оптимальним і необхідно перейти до нового базису.

Крок 3

Перехід до нового базису. Знаходимо клітину з найменшою від’ємною оцінкою. Якщо їх декілька, то можемо вибрати будь-яку (бажано з меншою вартістю перевезень), її позначаємо знаком «+» і будуємо із неї цикл.

Означення3.1. Циклом називається замкнута ламана лінія, ланки якої паралельні рядкам і стовпчикам, всі вершини, крім початкової, знаходяться в заповнених клітинах.

Властивості:

• для кожної вільної клітини існує один і тільки один цикл;

• кількість вершин циклу є парною;

• цикл може перетинати сам себе тільки у вільних клітинах;

• заповнені клітини ніколи не утворюють цикл.

Вершини циклу почергово позначаємо знаками «+» і «-». В клітинах, позначених знаком «-» знаходимо найменшу кількість сировини, яку віднімаємо від кількості усіх клітин з «-» і додаємо до кількості усіх клітин з «+». В результаті одна клітина стане вільною, а клітина з найменшою від’ємною оцінкою стане заповненою.

Зауваження 3.3. Якщо найменша кількість є в декількох клітинах зі знаком «-», то звільняємо лише одну з них (не має значення яку, бажано з більшою вартістю перевезень), а інші вважаємо заповненими з кількостями «0».

Потім повертаємось до кроку 2, тобто перевіряємо новий план на оптимальність.

Приклад 3.1. Нехай маємо трьох постачальників сировини, з запасами ,,і чотирьох споживачів, з потребами,,,. Матриця вартості перевезень має вигляд:

Побудувати план перевезень, що мінімізує їх вартість.

Розв’язання. Нехай - кількість вантажу, що перевозиться від - того постачальника до - того споживача.

Оскільки , то дана задача є замкнутою. Сформулюємо математичну модель.

Знайти найменше значення функції при обмеженнях- обмеження пропозиції

(вся сировина повинна бути вивезена);

- обмеження попиту

(всі потреби повинні бути задоволені);

- обмеження невід’ємності.

Запишемо дані задачі в таблицю.

	120	50	190	110
160	7	8	1	2
140	4	5	9	8
170	9	2	3	6

Виберемо початковий план за допомогою методу мінімальної вартості. Мінімальна вартість перевезень - . Кількість сировини у 1-го постачальника – 160, менша ніж потреби 3-го споживача – 190. Тому покладемоі виключимо 1-й рядок з розгляду, оскільки сировина першого постачальника використана повністю. Потреби третього споживача зменшились до 30. Тепер мінімальна вартість -(ми не враховуємо, бо 1-й рядок виключено з розгляду). Потреби другого споживача – 50, а запаси третього постачальника – 170. Поклавши, виключаємо з розгляду другий стовпчик, а запаси третього постачальника тепер рівні 120. З шести клітин, що не виключені з розгляду, мінімальна вартість -. Нагадаємо, що залишкові потреби третього споживача рівні 30. Таким чином, з розгляду виключається третій стовпчик, а запаси третього постачальника зменшуються до 90. Далі,та. На останньому кроці другий постачальник і четвертий споживач мають однакові залишкові запаси та потреби рівні 20, а клітина з вартістю перевезень- єдина, в яку можна записати це число. Отже, базисні змінні:тобто базисних змінних повинно бути саме шість. Інші шість змінних є вільними.

	120	50	190 30	110 20
160	7	8	1	2
			160
140 20	4	5	9	8
	120			20
170 120 90	9	2	3	6
		50	30	90

Перейдемо до другого кроку. Знайдемо потенціали споживачів та постачальників з системи для заповнених клітин, тобто

Система з шести рівнянь містить сім змінних. Поклавши , одразу знаходимо. Звідки .

Підрахуємо оцінки вільних клітин

Серед оцінок є від’ємна , тому наш план не є оптимальним. Покращимо його. Для цього треба в клітину з від’ємною оцінкою перенести певну кількість сировини (зробити- базисною), звільнивши при цьому одну з заповнених клітин. Для цього побудуємо цикл.

Його вершини знаходяться в клітинах (1,4), (1,3), (3,3) та (3,4). Поставимо знаки «+» та «–» почергово, починаючи з клітини (1,4). Клітини зі знаком «–» містять 160 та 90 одиниць сировини. Оскільки мінімальну кількість 90 містить клітина (3,4), то вона стане вільною після того, як буде проведено перерозподіл сировини: в клітинах зі знаком «+» додаємо, а зі знаком «–» - віднімаємо 90.

	120	50	190	110
160	7	8	70 1	90 2
			«-»	«+»
			160
140	4	5	9	8
	120			20
170	9	2	120 3	6
			«+»	«-»
		50	30	90

Тепер базисні змінні:

Перевіряємо цей план на оптимальність

Поклавши , одержуємо

Оцінки вільних клітин:

Даний план не є оптимальним. Побудуємо цикл з клітини (2,2), оскільки . Мінімальна кількість для клітин зі знаком «–» рівна 20 (в клітині (2,4)). Перерозподіл призводить до того, що базисними змінними будуть:

	120	50	190	110
160	7	8	50 1	110 2
			«-»	«+»
			70	90
140	4	20 5	9	8
		«+»		«+»
	120			20
170	9	30 2	140 3	6
		«-»	«+»
		50	120

Перевіримо на оптимальність

	120	50	190	110
160	7	8	1	2
			50	110
140	4	5	9	8
	120	20
170	9	2	3	6
		30	140

Усі оцінки додатні, тобто даний план є оптимальним

Таким чином, перший постачальник перевозить 50 одиниць сировини третьому та 110 четвертому споживачу, другий постачальник перевозить 120 одиниць сировини першому та 20 другому споживачу, а третій постачальник - 30 одиниць другому та 140 третьому споживачу . При цьому мінімальні витрати складуть у. г. о.

Відповідь.

, у. г. о.