79.Визначення щільності розподілу функції неперервної випадкової величини по щільності розподілу аргументу.

Нехай випадкова величина має диференційовану функцію розподілу ймовірностей , Тоді функція   (33.1)  називається щільністю розподілу ймовірностей (або щільністю ймовірності) випадкової величини , А випадкова величина - Безперервної випадкової величиною.  Розглянемо основні властивості щільності ймовірності.  З визначення похідної слід рівність:   . (33.2)  Згідно властивостям функції має місце рівність. Тому (33.2) набирає вигляду:. (33.3)  Це співвідношення пояснює назву функції. Дійсно, згідно (33.3) функція- Це ймовірність, Що припадає на одиницю інтервалу, В точці, Оскільки.

Це співвідношення має важливе значення для додатків, оскільки дозволяє обчислити вірогідність через щільність ймовірності або через функцію розподілу ймовірностей . Якщо покласти , То з (33.7) слід співвідношення (33.6).  На рис. 33.1 наведені приклади графіків функції розподілу та щільності ймовірностей.Рис. 33.1. Приклади функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірності.  Відзначимо, що щільність розподілу ймовірності може мати кілька максимумів. Значенняаргументу, При якому щільністьмає максимум називається модою розподілу випадкової величини. Якщо щільністьмає більш однієї моди, тоназивається багатомодальну. 80.Лінійна регресія. Прямі лінії середньоквадратичної регресії. Залишкова дисперсія.

У статистиці лінійна регресія — це метод моделювання залежності між скаляром y та векторною (у загальному випадку) змінною X. У випадку, якщо змінна X також є скаляром, регресію називають простою.

Загалом лінійна регресійна модель визначається у виді:

де — залежна пояснювана змінна,— незалежні пояснювальні змінні,— випадкова похибка, розподіл якої в загальному випадку залежить від незалежних змінних але математичне сподівання якої рівне нулю.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку.

Нехай випадкова змінна може набувати значеннявідповідно з ймовірностямипричому.

• Дисперсія дискретної випадкової величини має такий вигляд:

,

де

і називається стандартним відхиленням величини від її середнього значення;

—це оператор дисперсії випадкової величини.

• Якщо випадкова величина задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:

,

де

, тобто це середнє значення величини ;

—функція густини імовірності.

Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями 81.Розподіли «хі-квадрат», Стьюдента, Фішера-Снедекора. Розподіл «хі-квадрат»

Припустимо, що Х₁, Х₂, … Х_n – незалежні й нормально розподілені ВВ, принаймні їх математичні сподівання і середньоквадратичні відхиленнядля будь-якого

Випадкова величина має розподілх² із n ступенями вільності.

Розподіл х² «хі-квадрат» залежить від одного параметра n, і при n→∞ він наближається до нормального закону.

Розподіл Стьюдента

Припустимо, що Z – нормально розподілена ВВ, принаймні її мат. сподівання М(Z)=0 і середньоквадратичні відхилення , аV – незалежна від Z випадкова В , яка розподілена за законом х² з n ступенями вільності. Тоді ВВ: має розподіл Стьюдента зk=n ступенями вільності.

Розподіл Стьюдента також залежить від одного параметра n, і при n→∞ він наближається до нормального закону.

Розподіл Фішера-Снедекора

Припустимо, що U i V - незалежні ВВ, які мають х² розподіли із k₁ і k₂ ступенями вільності відповідно. ВВ залежить від двох параметрів ступенів вільностіk₁ і k₂.

Цей розподіл отримав назву F- розподілу, або розподілу Фішера-Снедекора.

Зокрема F- розподілу підпорядковується відношення дисперсій двох незалежних вибірок обсягів n i m із двох, нормально розподілених генеральних сукупностей із рівними дисперсіями. У цьому випадку k₁=n 1, k₂ = m  1.

82.Завдання математичної статистики. Генеральна та вибіркова сукупності. Вибірка. Способи відбору. Мат. статистика – це розділ математики, в якому вивчаються методи збору, систематизації й аналізу результатів спостережень масових випадкових явищ з метою виявлення існуючих закономірностей за допомогою методів теорії ймовірностей. Основні завдання: вказати способи збору й групування статистичних даних, отриманих у результаті спостережень; розробити методи аналізу статистичних даних залежно від мети дослідження.

Генеральною сукупністю наз. множина всіх реально існуючих або тільки умовно можливих однорідних об’єктів, що вивчаються з точки зору їх розподілу за деякою ознакою. Із теоретико-ймовірнісної точки зору ген. сукупність – це випадкова В Х(w), що задана на просторі елементарних подій

Вибірковою сукупністю(вибіркою) наз. частина об’єктів, яка відібрана випадковим чином для безпосереднього вивчення з ген. сукупності. Із теоретико-ймовірнісної точки зору вибірка з даної ген. сукупності – це результати обмеженого ряду спостережень х₁, х₂, … х_n випадкової В Х.

Вибірка наз. випадковою, якщо низка спостережень х₁, х₂, … х_n утворює послідовність незалежних й однаково розподілених ВВ.

Розрізняють повторну й безповторну випадкові вибірки. Під час повторної об’єкт, який береться із ген. сукупності, після його досліджень повертається в ген. сукупність. При цьому один і той же об’єкт може досліджуватися декілька разів. Під час безповторної об’єкти, які брались із ген. сукупності на дослідження, не повертаються. На практиці частіше користуються безповоротним випадковим відбором.

Різниця між ними майже відсутня, якщо обсяг ген. сукупності досить великий, а вибірка становить лише незначну її частину. Коли розглядається нескінченна ген. сукупність, а вибірка має скінченний обсяг, ця різниця повністю зникає.

Необхідно, щоб вибірка була репрезентативною, тобто правильно представляла пропорції ген. сукупності. Відповідно до закону великих чисел вибірка репрезентативна, якщо вона випадкова.

83.Статистичний розподіл вибірки, дискретний варіаційний ряд, полігон частот та відносних частот. Статистичним рядом наз. вибірку обсягу n: x₁, x₂,…, x_n, одержану з ген. сукупності. Він підлягає подальшій обробці та аналізу.

Перший етап обробки статистичного ряду – ранжування – запис елементів у порядку їх зростання(неспадання), в результаті якого отримують так званий простий варіаційний ряд, елементами якого є x₍₁₎, x₍₂₎,…, x_(n), де x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ x_(n).

Наступний етап обробки – побудова статистичного(емпіричного) закону розподілу.

Якщо Х – дискретна ВВ, найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою згрупованого варіаційного ряду.

Згрупований варіаційний ряд отримано на основі простого варіаційного ряду шляхом відбору всіх різних елементів, та розміщення їх у порядку зростання: x₁, x₂,…, x_n, де x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ x_(n), (k≤n).

Для виділення варіант одночасно обчислюють частоти що їм відповідають, або відносні частоти

Очевидно, що

Дискретним статистичним розподілом вибірки наз. відповідність між варіантами та їх частотами або відносними частотами.

Дискретний статистичний розподіл подають у формі таблиць:

1)дискретний статистичний розподіл частот:

2) дискретний статистичний розподіл відносних частот:

Якщо Х – неперервна ВВ(а також коли ВВ дискретна і обсяг вибірки відносно великий: n≥30) статистичний закон розподілу вибірки записують як інтервальний варіаційний ряд частот частот.

Інтервальним статистичним розподілом вибірки наз. відповідність між інтервалами варіаційного ряду та їх частотами чи відносними частотами(або щільністю відносних частот). Інтервальний статистичний розподіл вибірки, як і дискретний, записують у вигляді таблиць 1)інтервальний статистичний розподіл частот:

2)інтервальний статистичний розподіл відносних частот:

Дискретні варіаційні ряди - це такі ряди розподілу, в яких варіанта як величина кількісної ознаки може приймати тільки певне значення. Варіанти різняться між собою на одну чи кілька одиниць. Дискретний варіаційний ряд має вигляд:

Полігоном частот наз. ламану, відрізки якої послідовно з’єднують точки координатної площини.

Полігоном відносних частот наз. ламану, відрізки якої послідовно з’єднують точки координатної площини.

Схема побудови полігона частот(відносних частот):

1)на осі абсцис відкладають варіанти х_і;

2) на осі ординат – відповідні частоти n_i(відносні частоти w_i);

3)точки (х_і; n_i) ((х_і; w_i)) з’єднують відрізками прямих.

84.Статистичний розподіл вибірки, інтервальний варіаційний ряд, полігон частот та відносних частот. Статистичним рядом наз. вибірку обсягу n: x₁, x₂,…, x_n, одержану з ген. сукупності. Він підлягає подальшій обробці та аналізу.

Перший етап обробки статистичного ряду – ранжування – запис елементів у порядку їх зростання(неспадання), в результаті якого отримують так званий простий варіаційний ряд, елементами якого є x₍₁₎, x₍₂₎,…, x_(n), де x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ x_(n).

Наступний етап обробки – побудова статистичного(емпіричного) закону розподілу.

Якщо Х – дискретна ВВ, найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою згрупованого варіаційного ряду.

Згрупований варіаційний ряд отримано на основі простого варіаційного ряду шляхом відбору всіх різних елементів, та розміщення їх у порядку зростання: x₁, x₂,…, x_n, де x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤…≤ x_(n), (k≤n).

Для виділення варіант одночасно обчислюють частоти що їм відповідають, або відносні частоти

Очевидно, що

Дискретним статистичним розподілом вибірки наз. відповідність між варіантами та їх частотами або відносними частотами.

Дискретний статистичний розподіл подають у формі таблиць:

1)дискретний статистичний розподіл частот:

2) дискретний статистичний розподіл відносних частот:

Якщо Х – неперервна ВВ(а також коли ВВ дискретна і обсяг вибірки відносно великий: n≥30) статистичний закон розподілу вибірки записують як інтервальний варіаційний ряд частот частот.

Інтервальним статистичним розподілом вибірки наз. відповідність між інтервалами варіаційного ряду та їх частотами чи відносними частотами(або щільністю відносних частот). Інтервальний статистичний розподіл вибірки, як і дискретний, записують у вигляді таблиць 1)інтервальний статистичний розподіл частот:

2)інтервальний статистичний розподіл відносних частот:

2)інтервальний статистичний розподіл відносних частот:

Інтервальні (непереривні) варіаційні ряди - такі ряди розподілу, в яких значення варіанти дано у вигляді інтервалів, тобто значення ознак можуть відрізнятися одне від одного на скільки завгодно малу величину. При побудові варіаційного ряду непереривної ознаки неможливо вказати кожне значення варіанти, тому сукупність розподіляється за інтервалами. Останні можуть бути рівні і нерівні. Для кожного з них вказуються частоти або частості (табл. 19).

В інтервальних рядах розподілу з нерівними інтервалами обчислюють такі математичні характеристики, як щільність розподілу і відносна щільність розподілу на даному інтервалі. Перша характеристика визначається відношенням частоти до величини того ж інтервалу, друга - відношенням частості до величини того ж інтервалу. 

Полігоном частот наз. ламану, відрізки якої послідовно з’єднують точки координатної площини.

Полігоном відносних частот наз. ламану, відрізки якої послідовно з’єднують точки координатної площини.

Схема побудови полігона частот(відносних частот):

1)на осі абсцис відкладають варіанти х_і;

2) на осі ординат – відповідні частоти n_i(відносні частоти w_i);

3)точки (х_і; n_i) ((х_і; w_i)) з’єднують відрізками прямих.

85.Емпірична функція розподілу. Кумулятивна крива. Емпіричною функцією розподілу ВВ Х наз. функцію F^*(x), що визначає для будь-якого дійсного числа х відносну частоту події {Х<х}, тобто:

де х-зафіксоване довільне число; n_х – кількість елементів вибірки, що менша за х; n – обсяг вибірки; (n_х /n)- відносна частота події {Х<х}.

Властивості емпіричної функції розподілу F^*(x):

1)значення емпіричної функції розподілу належать відрізку 0;1];

2) F^*(x) – неспадна функція;

3)якщо х₁ – найменша варіанта, то F^*(x)=0 при х≤ х₁; якщо х_k – найбільша варіанта, то F^*(x)=1 при х>х_k ;

4) F^*(x) – функція, неперервна зліва.

Кумулятивна крива (кумулята) використовується для зображення варіаційних рядів, якщо кількість спостережень велика.

Накопиченими називаються частоти, які показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше ніж значення, що розглядається, і визначаються послідовним додаванням частот інтервалів.

Для побудови кумулятивної кривої необхідно розрахувати накопичені частоти так, що:

· межі першого інтервалу відповідає частота, що дорівнює нулю, а верхній межі – уся частота даного інтервалу;

· верхній межі другого інтервалу відповідає накопичена частота, що дорівнює сумі частот перших двох інтервалів тощо.

Кумуляту вважають наближеним графіком емпіричної функції розподілу.

86.Емпірична щільність розподілу. Гістограма відносних частот. Емпірична щільність розподілу - це функція, що описує розподіл випадкових значень змінної.

Емпіричною щільністю розподілу, що відповідає вибірці , називається шматково-постійна функція .

Її графік –гістограма відносних частот, у якої масштаб по осі ординат змінений таким чином, щоб площа під кривою стала дорівнювати одиниці. Для цього всі значення в інтервалах необхідно розділити на nh , де n - обсяг вибірки, h - ширина інтервалу при побудові гістограми. 

Гістограма відносних частот є фігурою, яка складається з

прямокутників, кожен з яких має основу h і висоту .Для її побудови на осі абсцисс відкладають частинні інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцисс на відстані Wi / h.

Площа i - го частинного прямокутника дорівнює =w_i - відносній частоті варіант, що попали в i - й інтервал. Тобто площа гістограми відносних частот = сумі всіх відносних частот (одиниці). 

Гістограмою частот називається східчаста фігура, яка складена з прямокутників, основами яких є частинні інтервали а їх висоти:

Гістограмою відносних частот називається східчаста фігура, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали а їх висоти:

Схема побудови гістограм частот (відносних частот):

· на осі абсцис відкладають частинні інтервали

· на цих інтервалах, як на основі, будують прямокутники з висотами

Площа кожного такого прямокутника дорівнює а площа гістограми частот дорівнює обсягу вибірки n (одиниці).