Питома вага розмірів

Розм	40	42	44	46	48	50	52	54	56
F	0,031	0,08	0,153	0,213	0,217	0,161	0,087	0,035	0,009
%	3,1	8	15,3	21,3	21,7	16,1	8,7	3,5	0,9

Аналогічні дії можна провести для інших розмірних ознак. Звичайно при цьому розмова йде про некорельовані або слабокорельовані ознаки. Ці ознаки є основними. Їх можна досліджувати окремо одну від іншої за алгоритмом, наведеним вище. Можна кожну нову розмірну ознаку досліджувати в межах окремих розмірів іншої розмірної ознаки.

Можна розглядати дві розмірні ознаки, як сумісні. В такому разі треба розглядати двомірне розподілення ймовірностей.

де -

₁, ₂ – центри (номінальні розміри),

- дисперсії,

 - коефіцієнт кореляції, ,

М₁₂ – момент, .

Перенесемо початок координат в точку центрів (номінальних розмірів). Тоді поверхня розподілення буде мати вигляд (рис.). При цьому X₁=x₁-₁ , X₂=x₂- –відхилення від центру₂.

Площина на рисунку відсікає на поверхні розподілення частину, об’єм якої визначає процент споживачів, що попадає в певну зону. Якщо таких площин провести чотири – дві вздовж однієї осі, дві – вздовж другої, то об’єм фігури, а внаслідок цього відсоток споживачів, що потрапляє в інтервал двох розмірних ознак визначається інтегралом

Рис.

Досі ми вели розмову про окремі розмірні ознаки, що визначають форму і розміри тіла людини. Доведено, що їх кількість нараховує декілька десятків. Природно, що таку складну геометричну форму, як тіло людини, неможливо описати декількама розмірами. Незважаючи на це, конструкторам одягу вдається обмежитися тільки невеликим обсягом вимірювань. Справа в тому, що додаткові ознаки є у певній залежності від основних. Статистичні методи у ряді випадків дозволяють пов’язати окремі ознаки математичною залежністю, якщо вдається довести їх кореляційний зв'язок.

Для ілюстрації відзначеного розглянемо дві розмірні ознаки, що виміряні для певного обсягу осіб. Будемо розглядати ілюстративно дві розмірні ознаки (наприклад, об’єм грудей і ширину плечей). Для конкретики візьмемо п'ятнадцять вимірювань ( у реальності треба більше). Перший розмір означимо літерою Х₁, другий – літерою Х₂. Результати зведемо у таблицю.

Таблиця 1

Два корельованих розміри для п’ятнадцяти осіб

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Х1	42	44	43	50	46	43	54	56	47	48	52	54	44	45	51
Х2	43	45	45	52	47	42	53	54	48	50	51	53	43	47	50

З одержаної таблиці важко робити конкретні висновки крім того, що окремі особи мають різноманітні ознаки, що не визиває ніяких сумнівів. Спробуємо нанести одержані дані на координатну сітку, де у якості осі абсцис оберемо розмір Х₁, у якості іншої Х₂.

На малюнку видно, що одержані точки не розкидані безконтрольно, а знаходяться у певній зоні системі координат, що може бути обмежена витягнутою межею і з деякою помилкою може бути розглянута, як функціональна залежність одного параметру від іншого. Якщо така залежність є, то може йти мова про кореляцію між двома статистичними параметрами. Тобто корельованими є величини, між якими можна з певною похибкою знайти функціональну взаємозалежність. Перший етап дослідження кореляційних залежностей – графічний. Точки, що виражають вимірювання двох параметрів, наносять на графік і візуально визначають, наскільки щільно одержується функціональна залежність і яка з відомих математичних функцій найбільш близька до шуканої.

Найбільш дослідженою і розробленою є лінійна кореляційна залежність, коли дослідні точки опиняються близько до прямої лінії. У цьому випадку є обґрунтований критерій такої залежності – так званий коефіцієнт кореляції.

Його значення виражається залежністю

,

де μ₁, μ₂ – математичні очікування, визначені для першої і другої ознаки, σ₁, σ₂ – середньоквадратичні відхилення цих ознак, N – кількість досліджень.

В середовищі Excel для відшукання коефіцієнту кореляції треба ввести два стовпчика взаємних вимірювань, виділити прямокутник, де буде знайдене значення коефіцієнту, тиснемо кнопку функції, вводимо слово КОРРЕЛ. У віконці, що з’являється тиснемо кнопку, що визначає перший масив, виділяємо прямокутники від А1 до А15, після чого тиснемо кнопку, що визначає другий масив, виділяємо прямокутники від В1 до В15, після чого тиснемо кнопку ОК. У визначеному прямокутнику з’являється число.

Коефіцієнт кореляції може приймати значення від -1 до +1 – в залежності від щільності зв’язку між двом величинами.

Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то кореляція між двома величинами відсутня. Хоча ввів жати їх незалежними на цій базі не можна. Можливі нелінійні зв’язки величин. Але якщо модуль коефіцієнта кореляції дорівнює або близький до одиниці є всі обґрунтування вважати, що є лінійна кореляція між двома величинами. Будемо вважати наявність лінійного зв’язку у випадку, коли R>0,8.

Якщо коефіцієнт кореляції від’ємний це означає наявність протилежного зв’язку: чим вище значення однієї змінної, тим нижче значення іншої. Сила зв’язку характеризується також і абсолютною величиною коефіцієнта кореляції. Для описання величини цього коефіцієнту використовують наступні градації

Значення	Інтерпретація
до 0,2	Дуже слаба кореляція
до 0,5	Слаба кореляція
до 0,7	Середня кореляція
до 0,9	Висока кореляція
свыше 0,9	Дуже висока кореляція

Якщо лінійний зв’язок між величинами доведений, можна починати процес пошуку так званого регресійного зв’язку між величинами. Регресією будемо називати лінійну залежність між двома величинами. Для введених означень ця залежність буде мати вигляд

,

Де коефіцієнти поки що невідомі. Використовуючи метод найменших квадратів, ці коефіцієнти можна знайти шляхом розв’язання системи з двох рівнянь

.

Формально цей процес повинен виглядати таким чином. Будується таблиця, у якій наводяться значення першого параметру, другого значення квадратів параметрів, їх добутку та суми усіх параметрів. Таблиця буде мати вигляд.

i	Х1	Х2		Х1· Х2
1	42	43	1764	1806
2	44	45	1936	1980
3	43	45	1849	1935
4	50	52	2500	2600
5	46	47	2116	2162
6	43	42	1849	1806
7	54	53	2916	2862
8	56	54	3136	3024
9	47	48	2209	2256
10	48	50	2304	2400
11	52	51	2704	2652
12	54	53	2916	2862
13	44	43	1936	1892
14	45	47	2025	2115
15	51	50	2601	2550
Σ	719	723	34761	34902

Якщо користуватися результатами цієї таблиці, то значення коефіцієнтів регресії можна знайти з системи рівнянь

Для знаходження коефіцієнтів кореляції можна використати стандартні функції програми Excel. Для визначення коефіцієнту b, що визначає кут нахилу регресійної лінії, треба в прямокутник вводу функції ввести =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(B1:B15;A1:A15);1), причому діапазони функцій B1:B15 і аргументів A1:A15 вводяться виділенням відповідних значень у таблиці, коефіцієнт a, що визначає перетин регресії з віссю ординат, визначається функцією =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(B1:B15;A1:A15);1). В результаті для вказаних рядів чисел одержимо значення коефіцієнта кореляції r=0,96, коефіцієнти регресії a=0,83, b=8,46.

Якщо для цих цілей використовувати середовище MathCAD, то одержані дані можна відразу зручно візуалізувати.

Для знаходження коефіцієнта кореляції в середовищі MathCAD використовується функція corr(X1,X2). Звичайно, перед цим всі значення Х1, Х2 повинні бути введені, як вектори. Функція intercept(X1,X2) визначає значення параметру a, який є вільним членом прямої регресії. Функція slope(X1,X2) визначає значення параметру b, що є кутовим членом регресії. На рис. Показаний приклад проведення лінійної регресії для даних, що представлені значеннями елементів в векторах X1 і X2.

Для порівняльно невеликих діапазонів даних, до яких відносяться і діапазони розмірних ознак в окремих статево-вікових групах найбільш вірогідним буде використання лінійної регресії при знаходженні кореляції між двома розмірними ознаками.

Між тим можливі розбіжності у даних, які наче б то уявляють з себе певну залежність, але явно не лягають на одну пряму. Приклад таких даних наведемо на рис. . У даному випадку взаємозв’язок між даними досить явно виражений, але він не уявляє з себе лінійну залежність. Скоріше він нагадує параболічну або іншу криволінійну залежність.