2.5 Змішаний добуток векторів
Змішаним (або
векторно-скалярним) добутком трьох
векторів
,
та
називається сукупність операцій:
|
|
(2.26) |
.Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.
Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.
|
| |
|
Рис. 2.11 | |
|
|
(2.27) |
Якщо вектори задані
в координатній формі
,
та
,
то змішаний добуток векторів можна
записати у вигляді
|
|
(2.28) |
.Властивості змішаного добутку векторів:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
якщо вектори
,
та
компланарні;
5)
,
якщо вектори
,
та
утворюють праву трійку векторів;
6)
,
якщо вектори
,
та
утворюють ліву трійку векторів.
Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:
1) об’єм паралелепіпеда,
побудованого на векторах
,
та
|
|
(2.29) |
;
2) об’єм піраміди,
побудованої на векторах
,
та
|
|
(2.30) |
;3) висота паралелепіпеда
|
|
(2.31) |
;4) висота піраміди
|
|
(2.32) |
.Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”
Дано координати
точок
.
Необхідно:
Знайти модуль та напрямок вектора
у просторі.Знайти кут між векторами
та
.Знайти проекцію вектора
на напрям вектора
.Знайти вектор
,
перпендикулярний до вектора
і до
.Обчислити площу трикутника АВС.
Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах
і
.Обчислити об’єм піраміди
.Перевірити, чи колінеарні вектори
і
.Перевірити, чи ортогональні вектори
і
.Перевірити, чи належать точки
до однієї площини.
|
Варіант 1 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 2 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 3 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 4 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 5 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 6 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 7 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 8 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 9 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 10 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 11 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 12 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 13 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 14 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 15 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 16 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 17 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 18 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 19 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 20 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 21 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 22 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 23 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 24 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 25 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 26 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 27 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 28 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 29 |
|
|
|
|
|
|
Варіант 30 |
|
|
|
|
|
(0; -1; 2)
(1; 2; 1)
(-3; 2; 1)
(0; 0; -1)
(2; 6; -3)
(-1; 3; 0)
(2; 1; -1)
(3; -1; 2)
(1; -1; 3)
(5; 2; 2)
(0; 3; 1)
(2; -1; 3)
(0; 2; 1)
(0; 1; 3)
(1; -1;-4)
(-1; 2; 3)
(-1; 3; 0)
(0; -1; 2)
(-2;1;-1)
(5; 2; 3)
(2; -2; 0)
(-2; -1;3)
(1; -2; 0)
(-1; 0; 1)
(7;-2; -5)
(-2; 0;-1)
(1; -2; 0)
(0; 1; 1)
(2; 0; -3)
(-1; 1; 4)
(0; 1; -2)
(2; 2; -1)
(-1; -1;0)
(-1;-1;0)
(5; 2; 3)
(3; 1; -1)
(2; -1; 0)
(2; 1; 0)
(2; 1; 3)
(4; 0; 0)
(3; 2; 0)
(1; -1; 1)
(2; 0; -1)
(2; 0; -1)
(6; 6; -3)
(0; -3;-1)
(1; 0; -2)
(-1; 0; 2)
(0; 0; 1)
(-1; 1; 5)
(2; 1; -2)
(1; 2; 3)
(0; 3; 1)
(-1;-2;-3)
(2;-5;-18)
(0; 3; -2)
(1; -2; 1)
(-1; 0; 3)
(1; -2; 0)
(-4; 0; 4)
(2; -1; 3)
(0; 1; -1)
(-2; 3; 1)
(0; -1; 0)
(1; -2; 2)
(0; 2; -1)
(1; 3; -1)
(-2; 1; 0)
(3; 0; 1)
(0; -1; 3)
(1; -1; 2)
(3; 1; -2)
(0; 1; -1)
(2; 3; 0)
(1; 2; 2)
(1; 0; 2)
(-1; 2; 3)
(1; 0; -3)
(2; 1; -1)
(5; 3; -1)
(1;-3;-2)
(0; -2; 1)
(2; -3; 1)
(-1; 0; 0)
(-4; 3; 9)
(1; -2; 2)
(0; 1; 3)
(2; 1; -1)
(-3; 1; 0)
(6; 2; 0)
(2; -1; 0)
(0; 1; 1)
(-2; 0; 1)
(-1;-1;-1)
(0; -2; 0)
(-3; 0; 1)
(1;-2; -1)
(0; 3; 1)
(-2; 1; 0)
(1; 4; 2)
(-3;1;-1)
(0; 2; 1)
(-1; 3; 2)
(2; -2; 2)
(-1;-3;0)
(-1;-2;-3)
(2; 1; 0)
(0; 1; -1)
(-3;1;-1)
(-1; 1; 0)
(-1; 0; 0)
(1; 2; -3)
(2; 0; -1)
(1; 3; -1)
(-1; 1; 2)
(0; 0; -2)
(2; 1; -3)
(0; 1; -2)
(-2;-1;0)
(1; 4; 3)
(-2;-1;-3)
(-3; 1; 0)
(2; 1; -1)
(0; 1; 3)
(-2; 5; 9)
(0; 1; -4)
(2; 2; -3)
(-1;3; -1)
(1; 1; 1)
(-2; 4; 0)
(-3;0;1)
(-2; 1; 3)
(0;-1; -2)
(-1;-2;-5)
(1; 0; 3)
(3; 0; -2)
(2; 1; -3)
(-1; 0; 2)
(2;-1;-1)
(2; 0; -1)
(-4; 0; 3)
(-3; 1; 2)
(-1; 0; 2)
(0; -3; 1)
(-3; 0; 4)
(2; 2; 2)
(3; 2; 0)
(-1; 3;-1)
(-2;-1;3)
(-1;-1;-1)