16.4. Вынужденные колебания упругой системы

Как отмечалось выше, колебания называются вынужденными, если на систему действует сила , изменяющаяся во времени по какому-либо закону. После приложения силы инерции балку в отклоненном состоянии можно рассматривать как находящуюся в равновесном состоянии (Рис.16.9).

Рис.16.9

Перемещение массы будет описываться уравнением:

, (16.16)

где  перемещение от единичной силы, приложенной в месте крепления массы.

Перенося все неизвестные в левую часть, после деления всех членов на получим:

. (16.17)

Интеграл этого уравнения состоит из двух частей: решение однородного уравнения и частного интеграла, зависящего от правой части.

Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила меняется по гармоническому закону с частотой :

. (16.18)

С учетом выражения (16.18) дифференциальное уравнение (16.17) принимает вид:

. (16.19)

Интеграл однородного уравнения был получен при решении уравнения (16.4) и представлен выражением (16.6) в предыдущем разделе. Частный интеграл будем искать в виде:

. (16.20)

Возьмем первую и вторую производные от перемещения по времени. Получим:

; . (16.21)

Подставим (126.20) и (16.21) в уравнение (16.19) и решим его относительно постоянной интегрирования С:

. (16.22)

Учитывая, что , получим:

, (16.23)

где  прогиб от статически приложенной возмущающей силы .

Таким образом, решение уравнения (16.19) с учетом (16.6) имеет вид:

. (16.24)

Первое слагаемое в этом уравнении представляет собой собственные колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Величины и находим из начальных условий, как это было показано в предыдущем разделе.

Так как собственные колебания в реальных конструкциях быстро затухают, рассмотрим только вынужденные колебания, происходящие с частотой .

Если принять , то отклонение от равновесного состояния приобретет максимальную величину, которую принято называть амплитудой вынужденных колебаний:

.

Величина представляет собой коэффициент нарастания колебаний и имеет вид:

. (16.25)

На рис.16.10. приведен график абсолютного значения коэффициента . Из графика видно, что при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний системы , коэффициент нарастания колебаний безгранично возрастает (при , ). Такое явление называется резонансом.

Рис.16.10

Динамический коэффициент при вынужденных колебаниях найдем на примере консольной изгибаемой балки с жесткостью , которая несет на свободном конце электродвигатель весом с неуравновешенным ротором (Рис.16.11).

Рис.16.11

Величина неуравновешенного груза, укрепленного на роторе и совершающего вращательное движение вокруг оси электродвигателя, равна . Вследствие вращения груза на роторе возникает центробежная сила инерции, которая и является причиной возникновения колебаний.

Полный прогиб, вызываемый статическим приложением веса электродвигателя и инерционной нагрузки , равен:

, (16.26)

где:  статическое перемещение, вызванное весом электродвигателя ;  амплитудное значение перемещения (амплитуда вынужденных колебаний),  коэффициент нарастания колебаний.

Динамический коэффициент найдем из отношения:

(16.27)