15.2.2. Учет сил инерции при равномерном вращении
Примером конструкции,
в которой при равномерном вращении
возникают силы инерции, является обод
маховика. В первом приближении обод
маховика можно рассматривать как тонкое
(в радиальном направлении) кольцо,
вращающееся равномерно вокруг неподвижной
оси с угловой скоростью
.
Кольцо вращается в горизонтальной
плоскости. На рис 15.2,а проказан вид на
вращающееся кольцо сверху.
Рис.15.2
Требуется произвести расчет обода на прочность без учета влияния спиц. Силы тяжести малы, ими пренебрегаем. Основные силы – силы инерции, вызванные равномерным вращением кольца.
Двумя радиальными
сечениями, проведенными из центра кольца
под взаимным углом
вырежем из кольца бесконечно малый
элемент длиной
и рассмотрим силы и ускорения, которые
на него действуют.
При равномерном
вращении кольца с постоянной угловой
скоростью
в бесконечно малом элементе возникнет
центростремительное ускорение
,
направленное вдоль радиуса внутрь
кольца. В противоположном направлении,
т.е. от центра кольца на вырезанный
элемент будет действовать сила инерции
(Рис.15.2,а):
,
(15.1)
где
площадь поперечного сечения кольца;
плотность материала;
радиус срединной поверхности кольца.
В силу симметрии нагрузки в каждой точке кольца возникнет такая же по величине сила, но направленная в ином направлении – вдоль радиуса от центра кольца. Интенсивность этой нагрузки найдем, разделив силу инерции, приложенную к бесконечно малому элементу на длину дуги, на которой эта сила действует:
.
(15.2)
Таким образом, кольцо
при равномерном вращении подвергается
равномерно распределенной нагрузке в
виде сил инерции интенсивностью
(Рис.15.2,б).
Очевидно, что кроме
сил инерции на бесконечно малый элемент
будут действовать еще силы, в частности,
направленные в окружном направлении.
Найдем эти силы. Для этого рассмотрим
кольцо, как некоторый замкнутый крнтур,
не имеющий промежуточных шарниров. Как
известно, такой контур три раза статически
неопределим. Учитывая то, что кольцо
тонкое, можно пренебречь неравномерностью
распределения напряжений по его толщине.
Если напряжения во всех точках поперечного
сечения кольца будут одинаковы, то это
означает, что в кольце отсутствуют
изгибающие моменты
.
Отсутствие изгибающих моментов исключает
наличие деформации изгиба в кольце.
Следовательно, поперечная сила
также будет отсутствовать в кольце.
Получается, что из
трех внутренних усилий в кольце (
и
)
два (
и
)
равны нулю. Остается только одно усилие
– продольная сила
.
Значит, кольцо работает на растяжение.
Найдем значение
продольной силы, действующей в кольце.
Для этого двумя радиальными сечениями
вырежем бесконечно малый элемент длиной
из срединной линии кольца и приложим к
нему распределенную нагрузку интенсивности
и равнодействующие нормальных усилий
,
распределенных по площади поперечного
сечения кольца (Рис.15.3).
Спроектируем силы,
действующие на вырезанный элемент, на
ось
.
Получим:
.
(15.3)
Рис.15.3
В виду малости угла
заменяем его синус углом:
и подставляем его в (15.3). Решаем равенство
(15.3) относительно продольной силы
,
получаем:
.
(15.4)
Здесь
величина окружной скорости на ободе.
Максимальные напряжения
в ободе получим, разделив продольную
силу
,
на площадь поперечного сечения кольца
:
.
(15.5)
Учитывая, что плотность
,
где
удельный вес материала и вводя величину
допускаемого напряжения, получим условие
прочности в виде:
.
(15.6)
Из формул (15.5) и (15.6)
видно, что напряжения в ободе не зависят
от площади поперечного сечения. Поэтому
увеличение площади поперечного сечения
обода не приводит к снижению напряжения
в нем. Очевидно, чтобы уменьшить напряжения
в ободе, нужно снижать скорость вращения
обода, либо применять более прочные
материалы с высоким значением
.
Предельную скорость на ободе можно
определить из условия прочности:
.
Обычно скорость вращения маховиков ограничивают. Для литых маховиков скорость на ободе не должна превышать 25м/сек. Поскольку опасность разрушения маховиков даже при этом остается высокой, маховики ограждают мощной металлической сеткой.
Рассмотрим деформации обода в окружном и радиальном направлениях. Относительное удлинение по окружности кольца в соответствием с законом Гука и с учетом выражения (15.5) равно:
.
(15.7)
Нетрудно убедиться
в том, что при увеличении радиуса
на величину абсолютной деформации
,
относительная окружное удлинение
будет равно относительному радиальному
удлинению
.
Действительно, если радиус кольца после
деформации станет равным
,
то относительную деформацию по окружности
можно будет найти по формуле:
.
(15.8)
Из выражения (15.8)
найдем перемещение
точек оси кольца в радиальном направлении:
.
(15.9)