7.6. Матричный метод определения перемещений по способу Мора-Симпсона

С развитием ЭВМ стало возможным выполнять громоздкие вычисления, связанные с определением перемещений, с помощью электронных машин. Особенно удобно это делать в том случае, если вычисление перемещений предполагает использование таких простых арифметических операций, как перемножение и сложение. Именно на использовании таких операций основан метод Мора-Симпсона.

Из курса линейной алгебры известно, что матрицей называется таблица, содержащая информацию в виде чисел, расположенных в определенном порядке в виде строк и столбцов. Например, матрица имеетстолбцов истрок:

.

С матрицами можно выполнять некоторые операции: сложение вычитание, умножение, обращение, транспонирование. Транспонированной называется матрица, у которой столбцы и строки меняются местами:

.

Матрицы А и В, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывать. В результате получим матрицу С, элементы которой имеют вид:

,

где матрица имеетстолбцов истрок.

При перемножении матриц следует пользоваться следующим правилом: число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Перемножим, пользуясь эти правилом, матрицы А и D. Матрица имеет столбцов истрок:

.

Перемножая матрицы А и D, имеем:

При этом переместительный закон не действует:

.

Представим в матричном виде единичные и грузовые изгибающие моменты, приведенные на рис. 7.14 для одного участка.

; .

Рис.7.14

Транспонируем матрицу единичных моментов:

и введем еще одну матрицу В, которую назовем матрицей податливости:

.

Перемножая матрицы ,и, получим перемещение в матричном виде:

.

Легко увидеть, что в результате перемножения матриц перемещение приобретает вид, совпадающий с формулой Мора-Симпсона:

.

Сформулируем теперь порядок определения перемещений по методу Мора-Симпсона матричным способом при наличии нескольких участков и при необходимости определения ряда перемещений, например, прогибов и углов поворота в нескольких сечениях.

1. Изображаем грузовое состояние системы и столько единичных состояний, сколько перемещений требуется определить. Нумеруем участки балки, в пределах каждого из которых проставляем по три характерных сечения: на левом конце участка, посредине и на правом конце участка. Следует отметить, что число участков и “характерных” сечений на грузовом и единичном состояниях балки должно быть одинаковым.

2. Строим эпюры грузовых и единичных изгибающих моментов, где число определяемых перемещений.

3. Составляем матрицы грузовых и единичных изгибающих моментов:

; .

Здесь  число “характерных” сечений.

Составляем матрицу податливости В:

,

где  число участков.

4. Вычисляем перемещения по формуле Мора-Симпсона, записанного в матричном виде:

,

где  матрица результирующих перемещений:

.