Свойства выборочного (статистического) коэффициента корреляции

Для оценки тесноты связи между переменными ипо выборочным значениям используют статистический коэффициент корреляции:

.

Если данные не сгруппированы в виде корреляционной таблицы и представляют пар чисел, то для вычисления коэффициента корреляции проводят по следующей формуле:

.

Между коэффициентом корреляции и коэффициентами регрессииисуществует связь:,,.

Основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборке ):

1. Коэффициент корреляции лежит в пределах: ;

2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, по величина коэффициента корреляции не изменится.

3. При корреляционная связь представляетлинейную функциональную зависимость.

4. При корреляционнаялинейная связь отсутствует.

При оценке тесноты связи между переменными ипо выборочному коэффициенту корреляции необходимо проверить значимость этого коэффициента, т.е. установить достаточна ли его величина для обоснования вывода о наличии корреляционной связи. Для этого необходимо проверить нулевую гипотезу:- коэффициент корреляции между генеральными совокупностямииравен нулю. При справедливости этой гипотезы статистика (критерий)

Имеет - распределение Стьюдента сстепенями свободы. При заданном уровне значимостии степени свободынаходим по таблицам закона распределения Стьюдента критическое значение. Если, то нулевая гипотеза об отсутствии корреляционной связи между переменнымииотвергается и переменные считаются зависимыми. Принет оснований отвергать нулевую гипотезу. Значимость коэффициента корреляции свидетельствует и о значимости коэффициентов регрессии, соответственно и о значимости линейного уравнения регрессии.

Понятие о нелинейной регрессии, индекс корреляции и коэффициент детерминации

В экономических приложениях часто возникает необходимость выражать корреляционную зависимость в виде нелинейных уравнений регрессии, поскольку линейные зависимости приводят к большим ошибкам. Выбор вида нелинейной регрессии называется спецификацией или этапом параметризации модели и осуществляется методами визуального оценивания точек корреляционного поля, анализа сути наблюдаемых экономических процессов и т.п. Наиболее часто в экономических исследованиях используют следующие виды нелинейной регрессии:

• Полиноминальная ;

• Гиперболическая ;

• Степенное и т.п.

Для определения неизвестных параметров выбранного уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов.

При нелинейной регрессии для оценки тесноты связи между переменными используют не коэффициент корреляции , а индекс корреляциии коэффициент детерминации.

Индекс корреляции повычисляется по формуле:

,

где - межгрупповая дисперсия, выражающая ту часть вариации переменной, которая обусловлена изменчивостью переменнойили регрессией и вычисляемая по формуле:

;

- общая дисперсия переменной:

Коэффициент детерминации, равный квадрату индекса корреляции, показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной:

.

Чем ближе к единице, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает зависимость переменных.

При парной линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляциипо абсолютному значению:.

Табличный процессор Excel так же позволяет проводит автоматизированный корреляционно- регрессионный анализ. Для этого в опции Сервис находим пакет анализа данных (см. рис.)