1.4 Сандар теорясының негізгі теоремасы

Жай сандар және олардың қасиеттері

8-анықтама.Бүтін саны 0 мен-ден өзге болса жәнеменсандарынан басқа бөлгіштері болмаса, жай сан деп аталады.

Мысалы, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 сандары алғашқы оң жай сандар болса -2,-3,-5,-7,-11,-13,-17,-19,-23,-29 алғашқы теріс жай сандар болып табылады.

9-анықтама.Бүтін саны мен 0 мен-ден өзге болса жәнеменсандарынан басқа да бөлгіштері болса, құрама сан деп аталады.

Мысалы, 4,6,8,9,10 сандары құрама сандар. Жай санның анықтамасынан бірталай салдарлар шығады. Алдағы уақытта тұжырымдарды оң жай сандарға қатысты қарастырамыз.

15-теорема. Егержай сан болса, онда кез келгенсаны несанына бөлінеді, немен өз ара жай болады.

Дәлелдеуі. Шынында да, анықтама бойынша, санының екі бөлгіші 1 жәнебар, сондықтанменсандарының ортақ бөлгіші не 1 саны, несаны болуы мүмкін. Егер ортақ бөлгішіболса, ондасаны-ға бөлінеді, ал ортақ бөлгіші 1 болса, ондаменөз ара жай сандар болады.

16-теорема. Егер екі немесе бірнеше бүтін сандардың көбейтіндісі жай санға бөлінсе, онда бұл санға көбейткіштердің кемінде біреуі бөлінеді.

Дәлелдеуі. Математикалық индукция әдісімен дәлелдейміз. Әуеліекі жәнесандарының көбейтіндісін қарастырайық. Егерболса, онданемесесаны-ға бөлінбейді.болса, онда теорема дәлелденді. Ал, егерсаны-ға бөлінбесе, онда, жоғарыдағы теорема бойынша,Онда 8-теорема бойыншаЕнді теорема, көбейткіштер саны-дан кіші болғанда дұрыс деп есептеп, олардың саныболғанда да дұрыстығын дәлелдейік.

көбейтіндісін қарастырайық. Бұл көбейтіндіні көбейтудің ассоциативтігін пайдаланып, екі көбейтінді түрінде өрнектеуімізге болады.

Ал, екі көбейткіш үшін теорема дұрыс болғандықтан немесесандарының бірі-ға бөлінеді. Егерболса теорма дәлелденді. Егерболса, индуктивтік ұйғарым бойынша,саныкөбейткіштен тұратын болғандықтан,сандарының бірі-ға бөлінеді. Теорема толық дәлелденді.

17-теорема. Кез келген бүтін сан, кем дегенде бір жай санға бөлінеді.

Дәлелдеуі. Математикалық индукция әдісін пайдаланайық.

1.болса, онда теорема дұрыс. Себебі 2 саны, жай сан 2-ге бөлінеді.

2. болғанда теореманы дұрыс деп есептеп,болғанда да дқрыстығын дәлелдейік.

3. болсын. Егержай сан болса, онда олжай санына бөлінетіндіктен, теорема дәлелденген болады. Егер құрама сан болса,ондаАлболғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша,m саны үшін теорема дұрыс, яғни ол кем дегенде бір жайсанына бөлінеді. Онда бөлінгіштің қасиеті бойыншасаны да-ға бөлінеді. Теорема дәлелденді.

Біз қарастырып отырған бүтін сандар сақинасының структуралық ерекшелігі мына теоремамен өрнектеледі.

18-теорема. Кез келген бірден өзге бүтін сан не жай сан, немесе ақырлы жай сандардың көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеледі.

Дәлелдеуі. 1. болсын. Онда 2 жай сан болғандықтан теоремадағы тұжырымүшін дұрыс.

2.Енді теоремадағы тұжырым болғанда дұрыс деп есептеп,болғанда дұрыстығын дәлелдейік.

3. бүтін санын қарастырайық. Егержай сан болса, онда оны екі санның көбейтіндісі түрінде өрнектей аламыз:

мұндағы,

Ал, жәнесандары-ден кіші болғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша, ол сандарға қатысты теоремадағы тұжырым орындалады; яғниДемек,

Жалғыздығын да индукция әдісімен дәлелдейміз.

1. болсын. 2 жай сан болғандықтан,ол басқа сандар көбейтіндісі түрінде жіктелмейді. Демек,болғанда тұжырым дұрыс.

2. Тұжырым болғанда дұрыс деп есептеп, болғанда дұрыстығын дәлелдейік.

3. болсын, егержай сан болса, онда ол жай сандар көбейтіндісіне жіктелмейді. Ендіқұрама сан болсын және ол жай сандар көбейтіндісі түрінде екі тәсілмен жіктеледі дейік:

және

Онда Бұл теңдіктің сол жағындағы өрнек жай сан-ге бөлінетіндіктен, оң жағындығы өрнек те-ге бөлінеді. Онда, 15- теорема бойынша,көбейткіштерінің бірі-ге бөлінеді.дейік. Алжай сан болғандықтанЖоғарыдағы теңдіктің екі жағын да-ге бөлсек

теңдігін аламыз.

Ал саны-ден кіші болғандықтан, индуктивтік ұйғарым бойынша, ол жай сандар көбейтіндісі түрінде жалғыз тәсілмен өрнектеледі, яғни, m=s. Демек,

Кез келген құрама санының жай көбейткіштерге жіктелуінде, кейбір

көбейткіштердің тең болуы мүмкін.

Айталық жіктелуінесанырет,санырет т.с.с. ақырындасанырет енеді делік, ондасанын

(4)

түрінде жаза аламыз, мұндағы сандары-ның әр түрлі жай бөлгіштері, ал-натурал сандар. Әдеттесандарын өсу реті бойынша орналастырылады.Осы (4) өрнексанының канондық жіктелуі деп аталады. Бұл өрнектісанын факторизациялау деп те атайды.

Мысалы, 432 санының канондық жіктелуі болады. Санның канондық жіктелуін білгеннен кейін, бір санның екінші санға бөлінгіштік критерийін тағайындауға болады. Айталықсаныс санына бөлінеді дейік:

Сонда с санының канондық жіктеуіндегі әрбір жай сан санының жіктеуіне де қатысуы тиіс және керісінше,с саны санының бөлгіші болғандықтан,санының канондық жіктеуіндегі жай сандарға ғана бөлінуге тиісті. Сонымен бірге, с санының жіктеуіндегі жай бөлгіштің қай-қайсысыныңда дәреже көрсеткіші, осы жай саныныңсанының канондық жіктеуіндегі дәреже көрсеткішінен артпауы тиіс. Бұдан мынандай маңызды қорытынды шығады:

1-салдар. Егер санының канондық жіктеуі

болса, онда мұның кез келген с бөлгішінің жіктеуі

болады, мұнда

Канондық жіктеуі берілгеннен кейін, екі не бірнеше санының ең үлкен ортақ бөлгішін және ең кіші ортақ еселігін табуға болады. а және b сандарының канондық жіктеулері белгілі болсын.

Мұндағы, жәнесандары нольге де тең болуы мүмкін. Ондаа және b сандарының канондық жіктеулерінің екеуін де бірдей жай сандар арқылы өрнектеуімізге болады.

2-салдар. а және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші төмендегіше анықталады:

мұнда

Мысалы, 360 және 96 сандарының канондық жіктелуі

және

белгілі, енді осы екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу керек болсын. Жай екі және үш сандары берілген екі санның да ал, 5 саны тек 360 санының жіктелуіне еніп отыр. Олай болса, жай 2 және 3 сандарының еі кіші 2³ және 3¹ дәрежелерінің көбейтіндісі ізделінді, ең үлкен ортақ бөлгіші болып табылады

3-салдар. а және b сандарының ең кіші ортақ еселігі төмендегіше анықталады:

мұнда

Алдыңғы мысалда жай 2,3,5, сандары 360-пен 96 сандарының кемінде біреуінің жіктеуіне еніп отыр, атап айтқанда 2⁵,3²,5¹ –ең үлкен дәрежелер. Сондықтан

Үш не одан артық сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші және ең кіші ортақ еселігі де осылайша табылады.

Енді санының бөлгіштерінің табу мәселесімен шұғылданайық, атап айтқанда осы санның барлық бөлгіштерінің санын табайық.

19-теорема. Егер санының канондық жіктеуіболса, ондасанының барлық натурал бөлгіштерінің саныформуласымен анықталады.

Дәлелдеуі. 18-теореманың 1-ші салдары бойынша, санының кез келген с бөлгіші төмендегіше өрнектеледі:

мұнда,

Сондықтан, санының барлық натурал бөлгіштерінің санын анықтау үшін,-терден тұратын және теңсіздігін қанағаттандыратын, жиынтықтардың мүмкін комбинациясын есептеуіміз керек. -лардың қабылдай алатын, жоғарыдағы теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерінің саныкөрсеткіштерімәндерін бір-бірінен тәуелсіз қабылдайтындықтан және жай сандар көбейтіндісіне жіктеу жалғыз болатындықтан (18-теорема), көрсеткіштер мәндерінің әр түрлікомбинациясын шығарып аламыз. Демек,санының барлық бөлгіштерінің санындеп белгілесек, ол мына формуламен табылады

мысалдар, 1. Айталық Ондаболғандықтан,

2.Айталық санының бөлгіштерін табу керек болсын. Ол санның канондық жіктеуіболады. Олай болса,

Енді, осы санының бөлгіштерін тауып көрейік. Ол үшін, жалпы формуланы жазамызмұнда-лер 0,1,2,3 мәндерін қабылдайды.менмәндерін өз ара комбинациялай отырып, сәйкес бөлгіштерді табамыз:

Мұнда жазу керек

0;0

Енді берілген санының барлық бөлгіштерінің қосындысын есептеуге формула қорытып шығарайық.

20-теорема. Егер санының, канондықжіктеуі белгілі болса, онда бұл санның барлық натурал бөлгіштерін қосындысы

формуласымен анықталады.

Дәлелдеуі. санының кез келген с бөлгіші, 18-теореманың 3-ші салдары бойынша,түрінде жіктелетінін білеміз. Енді s жақшадан тұратын мына өрнекті(5)

қарастырайық. Бұл өрнектің 1-ші жақшасы санының барлықбөлгіштерінің қосындысы, ал 2-ші жақшасанының барлықбөлгіштерінің қосындысы т.с.с. Сонымен, ақырында соңғы жақшасанының барлықбөлгішгіштерінің қосындысы. (5) өрнектегі жақшаларды ашып, мына қосындыны табамыз:

(6)

бұл қосындының әрқайсысы санының бөлгіші болатын

түріндегі әр түрлі қосылғыштардан құралған

бөлгіштердің қосындысы болып табылады. Демек, (6) өрнек санының барлықбөлгіштерінің қосындысы болмақ. Ал егер (5) өрнектің әрбір жақшасын өз алдына жеке есептеп алатын болсақ, онда біз бірденсанының барлық бөлгіштерінің қосындысын беретін формуланы табамыз:

Мысалдар. 1. санының барлық бөлгіштерінің қосындысын табайық.болғандықтан, жоғарыдағы формула бойынша,

2.санының барлық бөлгіштерінің қосындысын табайық.

Жай сандардың шексіз көптігі

Енді жай сандар не бары қанша деген мәселеге келейік. Бұған Евклидтің мынандай теоремасы жауап береді.

21-теорема.(Евклид теоремасы). Натурал сандар жиынындағы жай сандар саны ақырсыз.

Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін кері жору тәсілін қолданамыз. Айталық, натурал сандар жиынындағы жай сандардың саны ақырлы делік және оларды деп белгілейік, мұндағыең үлкен жай сан.

Мынандай санын құрайық.болғандықтан,саны құрама сан. Демек ол бір жай санға бөлінуге тиіс. Ал ұйғарым бойынша барлық жай сандарсандары. Ендешесаны осы сандардың біріне бөлінуі тиіс. Олсаны дейік.көбейтіндісі де,саны да-ге бөлінетіндіктен, бөлінгіштііктің қасиеті бойынша, бір саны-ге бөлінуі тиіс. Бұлай болуы мүмкін емес, өйткеніДемек біз жасаған ұйғарым дұрыс емес. Сонымен, жай сандардың саны ақырсыз.

Сандардың натурал қатар айырымы 1-ге тең ақырсыз арифметикалық

прогрессия құрайтын белгілі. Ендеше, Евклид теоремасын тағы былай да тұжырымдауға болады: айырымы 1-ге тең ақырсыз арифметикалық прогрессия құрамында ақырсыз көп жай сан бар. 19 ғасырдың белгілі математигі Л. Дирехле (1805-1859) Евклид теоремасын былайша жалпылады: әрбі

арифметикалық прогрессиядағы жай сандар саны ақырсыз. Мұндағы .

22-теорема. Егер жай санықұрама санының ең кіші бөлгіші болса, онда

Дәлелдеуі. болғандықтан, бүтінсаны табылыптеідігі орындалады. Алең кіші бөлгіші болғандықтанОсы теңсіздіктің сол жағынал оң жағынсанына көбейтсек,болғандықтан,болады. бұданЯғни,санының жай бөлгішісанынан кіші. Егерсанысанынан кіші жай сандардың ешқайсысына бөлінбесе, ондажай сан болған.

Мысалы, 59 саны жай сан. Өйткені ол -дан кіші жай 2,3,5,7

сандарының ешқайсысына бөлінбейді.

Эратосфен торы

Натурал қатардан жай сандарды бөліп көрсету үшін Эротосфен торы деп аталатын тәсіл бар (Эротосфен грек математигі, біздің жыл санауымызға дейін 3 ғасырда өмір сүрген).

Эротосфен тәсілі мынадай қарапайым жағдайға негізделген: өзінен кіші жай сандардың ешқайсысымен де еселі емес сан, жай сан болады. Натурал сандар қатарын жазайық:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10....

Енді 2-ге тимей оған еселі сандардың барлығын сызайық, сонда 2-ден бастап санағанда әрбір келесі екінші санды, яғни 4,6,8,10... сандарды сызамыз. 2-ден кейінгі сызылмай қалған 3 саны жай сан болады. Енді қатарда қалған

2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,...

сандары ішінен 3-ке тимей, оған еселі сандарды сызып шығамыз, сонда біз 3-тен бастап есептегенде әрбір 3-ші санды, яғни 9,15,21,... сандарды сызамыз. 3-тен кейінгі сызылмай қалған 5 саны да, жай сан. Енді қатардағы қалған сандардың ішінен 5-ке еселерін сызып шығамыз т.с.с.

Құрама сандарды әрі қарай да осылайша сызу процесін орындай келе, біз натурал қатардың барлық жай сандарын табамыз. Эротосфен торы онша қолайлы болмаса да, натурал қатардың тетелес жай сандарын табу үшін қолданылады.