Методические указания к решению задач на равновесие при наличии трения

Наибольшие затруднения обычно вызывают задачи на равновесие тел при наличии сил трения скольжения. Это объясняется тем, что сила трения вообще является величиной неопределенной, для которой мы знаем только её предельное максимальное значение, равное произведению коэффициента трения скольжения f на нормальную (т.е. перпендикулярную к опорной поверхности) реакцию N. Поэтому в процессе решения приходится оперировать с неравенствами, и навыков у студентов, как правило, бывает недостаточно. Только в тех случаях, когда отыскивается предельное значение неизвестной величины, задача сводится к решению обычной системы уравнений статики.

Прежде чем привести пример решения задачи на равновесие тел при наличии трения, сделаем некоторые замечания самого общего порядка. Допустим, что в задаче требуется определить угол α, который образует лестница, приставленная к стене, с плоскостью пола при равновесии. Надо составить уравнения равновесия и исключить из них силы трения с помощью неравенств ,

или с помощью равенств: и,

где и.

При решении задач на равновесие при наличии сил трения необходимо следить, чтобы все промежуточные результаты, получаемые при математических выкладках, не противоречили физическому смыслу задачи. Иначе использовать их в дальнейшем нельзя.

При решении неравенств в буквенном выражении, одно из часто встречающихся затруднений состоит в том, что требуется определить величину Х из условия (где а,b, с и d даны по условию задачи). В этом случае не следует стремиться обойти эту неопределенность, а необходимо наложить ограничения на данные величины и решить неравенство при тех или иных предположениях. Вообще во всех тех случаях, когда в формулах содержатся разности, можно обращать найденную величину или в ноль, или в бесконечность, или сделать ее неопределенной, или, наконец, отрицательной, - необходимо провести исследование и все согласовать с практической стороной задачи.

При составлении уравнений равновесия следует выбирать системы координат и точки для уравнений моментов таким образом, чтобы уравнения получались простейшими, содержащими по возможности меньшее число неизвестных величин.

Прежде чем к телу, условия равновесия которого определяются, приложить действующие на него силы, надо постараться представить себе, как это тело начнет перемещаться, если равновесие будет нарушено. Силы трения надо направить так, чтобы они препятствовали скольжению. Если скольжение возможно в двух взаимно противоположных направлениях, то надо сделать то и другое предположение и определить верхнюю и нижнюю границы изменения искомой величины.

Пример решения задачи на равновесие при наличии трения.

Однородная горизонтальная балка длиной 2l опирается одним концом А на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол α. Определить, на каком расстоянии Х от середины балки надо поставить опору В, чтобы балка находилась в равновесии. Коэффициенты трения в точках А и В одинаковы и равны f (рис. С6ж).

Решение.

На балку действуют три силы: сила тяжести балки Р, приложенная в ее центре тяжести, и реакции опор N_А и N_В , приложенные в точках А и В соответственно. Так как при нарушении равновесия конец балки А начнет скользить вниз, то сила трения в точке А будет направлена вверх по наклонной плоскости и, следовательно, сила трения в точке В будет направлена вдоль балки вправо.

Рис. С6ж

Рассматривая предельное состояние равновесия балки составляем в выбранной системе координат три уравнения равновесия:

; (1)

; (2)

. (3)

К полученным уравнениям присоединим неравенства:

; (4)

. (5)

Преобразуем уравнение (3), используя неравенства (4):

;

;

,

откуда

.

Преобразуем уравнение (2), используя неравенства (4) и (5):

.

Подставив N_A , получим:

;

;

.

Так как знаменатель всегда больше нуля, то числитель

;

,

откуда

.

Подставив N_В в уравнение (1), получим:

;

.

Так как знаменатель всегда больше нуля, то числитель

;

;

,

откуда

.

Разделив числитель и знаменатель на cosα, получим

.

Это решение будет иметь место при , так как придробь обращается в бесконечность, а приполучается отрицательный результат, а расстояние не может быть отрицательным.