РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ 3. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ СКЛАДІВ

БУДІВЕЛЬНИХ МАТЕРІАЛІВ

Короткі теоретичні відомості

ОРТОГОНАЛЬНЕ ПЛАНУВАННЯ

При описанні області, близької до екстремуму, частіше за інших застосовують поліноми другого порядку, що пов'язано в першу чергу з тим, що поліноми другого порядку легко піддаються систематизації і дослідженню на екстремум. При цьому число дослідів N має бути не менше числа визначуваних коефіцієнтів в рівнянні регресії другого порядку для k чинників:

Для опису поверхні відклику поліномами другого порядку незалежні параметри мають набувати не менше трьох різних значень.

З метою скорочення числа дослідів використовують композиційні (послідовні) плани. Композиційний план складається з експериментів ПФЕ 2k ( k 5 ), до яких додають експеримент в центрі плану і в 2k зоряних точках, розташованих на осях фіктивного простору, координати яких: ( , 0, …, 0), (0, , 0, …, 0), …, (0, …, 0, ), де - відстань від центру плану до зоряної точки – "зоряного плеча". Загальна кількість дослідів розраховується за формулою [Ошибка!

Источник ссылки не найден.]:

де n0 - кількість дослідів в центрі плану, k - число чинників, N0 - число дослідів повного факторного експерименту 2k.

Композиційні плани легко приводяться до ортогональних вибором зоряного плеча . Довжину "зоряного плеча" можна обчислити за формулою:

Значення "Зоряного плеча" залежить від числа повних повторень експерименту в центрі плану (N=9).

У таблиці 2 подається композиційний план другого порядку для двох факторів. Для того, щоб матриця планування мала властивість ортогональності, необхідно ввести стовпці з коригованими значеннями рівня x , які обчислюються за формулою [Ошибка! Источник ссылки не найден.]:

28

Таблиця 2

Композиційний план другого порядку для двох факторів

Матрицю розрахунків коефіцієнтів рівняння наведено в таблиці 3, в якій стовпці 2-7 є ортогональною матрицею планування, стовпець 8 – значення відклику системи; перших чотири досліди – це матриця повного факторного експерименту 22.Експериментальні дані повинні бути однорідними і нормально розподіленими.

Відповідно до даних таблиці 2 розраховують коефіцієнти рівняння регресії. Значення коефіцієнтів рівняння регресії характеризують вклад кожного фактора в значення функції відклику.

29

Після того, як отримано рівняння регресії при активному експерименті перевіряється значущість коефіцієнтів за допомогою критерію Ст’юдента [2] і адекватність отриманої регресії за допомогою критерію Фішера [2]. У разі незначущості коефіцієнтів їх можна виключити з рівняння регресії при подальшому дослідженні математичної моделі.

ДВОРІВНЕВІ ПЛАНИ БАГАТОФАКТОРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ.

У багатофакторному експерименті можна враховувати тільки залежність виходу від кожного з факторів, а можна враховувати також залежність виходу від взаємодії декількох факторів. Якщо враховується взаємодія всіх факторів, то багатофакторний експеримент називається повним.

Найпростішим планом багатофакторного повного експерименту являється план, в якому досліджувані фактори змінюються лише на двох рівнях: верх-

ньому Ci і нижньому Ci . Такий план називається дворівневим і позначається

ПФЕ 2n, тобто повний факторний експеримент дворівневий, n- факторний. Центр експерименту

У безрозмірному виразі верхній рівень фактора прийме значення +1, нижній -1:

План ПФЕ 2n можна подати у вигляді таблиці.

Приклад. Побудувати план ПФЕ22 для дослідження впливу температури в діапазоні 30 - 42 градуси Цельсія і величини pH в діапазоні від 5 до 7.

Знайдемо центр експерименту

та інтервал варіювання

32

Таблиця 4

Варіант реалізації плану ПФЕ 2n

Стовпці 2 і 3 відбивають вплив окремих чинників. Стовпець 4 відбиває міжфакторну взаємодію.

Заповнення другого і третього стовпця пояснень не потребує. Четвертий стовпець заповнюється за правилом перемножування вмісту другого і третього стовпців: Якщо другий і третій стовпець мають однаковий знак, то в четвертому стовпці ставиться «+», інакше «-».

План повного двохфакторного експерименту ПФЕ22 дає можливість обчислити чотири коефіцієнти рівняння регресії :

y a1 a2 x1 a3 x2 a4 x1 x2 .

План повного трьохфакторного експерименту дає можливість вичислити вісім коефіцієнтів рівняння регресії

y a1 a2 x1 a3 x2 a4 x3 a5 x1 x2 a6 x1 x3 a7 x2 x3 a8 x1 x2 x3

і так далі.

33