1.8. Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим правильную рациональную дробь (,– многочлены, степеньменьше степени).

Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Рассмотрим несколько случаев:

а) , тогда дробь представляют в виде:

,

где – коэффициенты, которые следует определить.

б) , тогда

,

где – коэффициенты, которые необходимо определить.

в) .

.

Последовательность разложения правильной рациональной дроби будет такой:

1)	Знаменатель дроби раскладывают на множители.
2)	Заданную дробь представляют в виде суммы простых дробей с неизвестными коэффициентами.
3)	Приводят к общему знаменателю сумму простых дробей и приравнивают числители обеих частей равенства (две дроби равны тогда и только тогда, когда равны числители и равны знаменатели).
4)	Определяют коэффициенты и переходят к интегрированию простых дробей. Чтобы найти коэффициенты а) задают конкретные значения (корни знаменателя); б) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях и решают систему (два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях). Первый прием особенно удобен, когда знаменатель раскладывается на разные множители.
Замечание.		Если подынтегральная дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример 1.8.1. Вычислить интеграл .

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители . Следовательно,

.

Приравнивая числители , определим коэффициентыи. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхв левой и правой частях тождества и решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными

откуда ,.

Следовательно, .

Пример 1.8.2. Вычислить интеграл .

Решение. Разложим знаменатель дроби на множители:

.

Корни трехчлена естьи 2, поэтому окончательно имеем

.

Напишем разложение

,

Теперь приведем это разложение к общему знаменателю

,

а затем, приравняв числители, получим

.

Из этого тождества определим коэффициенты ,,, приравняв коэффициенты при одинаковых степеняхслева и справа, и решив систему

откуда ,,. Окончательно имеем

.

Следовательно,

.

Пример 1.8.3. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Надо сначала выделить целую часть; для этого путем деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби:

,

,

Дроби приводим к общему знаменателю

,

а затем, приравняв числители, получим

.

Теперь запишем и решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

откуда ,,. Окончательно имеем

.

Следовательно,

.

Пример 1.8.4. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть

.

Разложим знаменатель дроби на множители: и напишем разложение

,

откуда

.

Приравняем числители

.

Решим систему уравнений

откуда, ,,. Окончательно имеем

.

Следовательно,

Найдем

.

Окончательно имеем

.

1.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида

,

(1)

где – рациональная функция;– целые числа, находятся с помощью подстановки

,

(2)

где – наименьшее общее кратное чисел.

Рассмотрим два частных случая:

а) если в интеграле (1) , то он будет иметь вид

,

(3)

где ,.

б) если ,, то интеграл (1) примет вид

.

(4)

Интегралы вида (3) находятся с помощью подстановки

(5)

Интегралы вида (4) упрощаются подстановкой

.

(6)

Пример 1.9.1. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку (6):

, откуда ,.

.

Пример 1.9.2. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку (5). Наименьшее кратное показателей корней подынтегрального выражения , следовательно,

, откуда ,,и

Пример 1.9.3. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку (2):

, откуда ,;

.

1.10. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида

; ;,

где , находятся с помощью формул:

;	(7)
;	(8)
.	(9)

2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида

; ;

или ;или,

которые находятся соответственно с помощью подстановок:

, ;	(10)
, ;	(11)
, или,,;	(12)
, или,,;	(13)

3. Интегралы вида

,

где и– положительные четные числа, вычисляются с помощью формул:

, ,.

(14)

4. Случай нечетной степени одной функции

а) - выделяют один, остальную часть выражают черези проводят замену.

б) - выделяют один, остальную часть выражают черези проводят замену.

5. Интегралы вида

,

где – рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки

,

(15)

откуда

, ,,.

Следовательно, интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной .

Пример 1.10.1. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой (7).

.

Пример 1.10.2. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой (8).

.

Пример 1.10.3. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой (9).

.

Пример 1.10.4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся подстановкой (10):

.

Пример 1.10.5. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку (11):

.

Пример 1.10.6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку (12):

.

Пример 1.10.7. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся подстановкой (13):

.

Пример 1.10.8. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулы (14):

.

Пример 1.10.9.Вычислить интеграл.

Решение.

.

Пример 1.10.10.Вычислить интеграл.

Решение.Для вычисления данного интеграла воспользуемся универсальной подстановкой,, откуда;

.