§ 1.6. Применение законов Кирхгофа для описания электрического состояния цепей постоянного тока

Основными законами, используемыми для анализа и расчета элект­рических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофаявляется следствием за­кона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, схо­дящихся в узле, равна нулю:

2/ = 0. (1.5)

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,— со знаком минус.

Второй закон Кирхгофаявляется следствием за­кона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, ко­торую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраи­ческая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

(1.6)

Применительно к схемам замещения с источниками э.д.с. второй закон Кирхгофа можно формулировать таким образом: алгебраиче­ская сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого кон­тура равна алгебраической сумме э.д.с., входящих в этот контурз

(1.6а)

При составлении уравнений (1.6) и (1.6а) слагаемые берут со зна­ком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или э.д.с., в про­тивном случае слагаемые берут со знаком минус.

Анализ и расчет любой электрической цепи можно провести на основании применения первого и второго законов Кирхгофа. Рас-

Рис. 1.17. Схема замещения электрической цепи с несколькими источ­никами э. д. с, (а), граф схемы цепи (б) и дерево графа (в)

смотрим применение законов Кирхгофа для определения токов ветвей цепи (рис. 1.17, а), если сопротивления и э.д.с. всех элементов из­вестны.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо соста­вить уравнения по первому й второму законам Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. По пер­вому закону Кирхгофа можно составить у—1 независимых уравне­ний, гдеу— количество узлов цепи. Использовать всеууравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым. Это

связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех уузлов, дважды, причем с разными знаками, поскольку один и тот же ток направлен от одного узла (имеет знак плюс в уравнении) к другому узлу (имеет знак минус). При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированиему—1уравнений и за­меной знаков всех токов на противоположные. Таким образом,у-е уравнение всегда будет зависимым и поэтому использовать его для определения токов нельзя.

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно коли- / честву ветвей любого дерева графа рассматриваемой цепи, так как количество ветвей дерева, как было указано в § 1.5, равно у—1.

Схема электрической цепи рис. 1.17, аимеете пять, ветвей и трй узла, поэтому по первому закону Кирхгофа для нее можно составить "Два^йезависимых ур авнени я, н апр имер:

для узла 1

(1.7)

для узла 2

(1.7а)

/з-/₄+ /₅^0.

Граф рассматриваемой схемы цепи приведен на рис. 1.17, б. Любое дерево этого графа имеету—1=2 ветви, например дерево на рис. 1.17, б.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирх­гофа, должно быть равно количеству независимых контуров. Неза­висимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

Очевидно, что каждая связь графа образует новый (независимый) контур, по­этому количество независимых контуров равно количеству связей графа, т. е.

=п—(у—1), гдеп— общее количество ветвей цепи. Граф схемы цепи рис. 1.17,б имеетп=5 ветвей ис—3 связи.

Для схемы цепи рис. 1.17, анадо составить три уравнения по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров. Примем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

для контура I

(1.8)

(1.8а)

(1.86)

При составлении уравнений (1.8) — (1.86) со знаком плюс запи­саны те слагаемые, в которых ток и э.д.с. имеют направления, совпа­дающие с направлением обхода контура.

Решая систему уравнений (1.7), (1.8), можно определить все пять неизвестных токов. Если в результате решения этих уравнений полу-

чатся отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения (1.7), (1.8).

Правильность расчета токов в ветвях электрической цепи может быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источ­ников и приемников электрической энергии:

2 £/=2/?/*, (1.9)

в котором правая часть характеризует мощность пассивных прием­ников электрической энергии, а левая — мощность активных элемен­тов цепи. При составлении уравнения баланса мощностей следует иметь в виду, что в левой его части со знаком плюс записываются те слагаемые, для которых направления э.д.с. и тока совпадают. Если же направления э.д.с. и тока противоположны, то соответствующие слагаемые записываются со знаком минус в левой части уравнения или со знаком плюс в правой его части, что соответствует мощности активного приемника электрической энергии.