6 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье. Равенство Парсеваля.

При временном представлении сам импульс (сигнал) представляется в виде функции времени. Часто необходимо сконцентрировать внимание не на изменениях сложного сигнала во времени, а на том, из каких простых гармонических колебаний он состоит. В этих случаях прибегают к спектральному представлению сигнала, в основе которого лежат преобразования Фурье. При спектральном представлении сигнал представляется не функцией времени, а функцией частоты. Совокупность гармонических колебаний, на которые может быть разложен данный сигнал, называют спектром сигнала. Полоса частот, в которой наблюдаются гармонические колебания, составляющие данный сигнал, называют шириной его спектра.

Преобразования Фурье являются инструментом спектрального анализа непериодического сигнала. Переход от ряда Фурье к преобразованиям Фурье базируется на след. подходе: представляем сигнал в виде периодич. Последовательности и находим ряд Фурье, затем, не меняя формы сигнала, увеличиваем период повторения () и снова рассчитываем коэф-ты ряда Фурье:Изменение пределов интегрирования не играет роли, ведь в пространстве между сигналами значение ф-ии нулевое. Единственные дополнительное изменения будет состоять в уменьшении общего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период Т.

На рис описаны изменения иллюстрирующиеся на примере двукратного увеличения периода следования прямоугольных импульсов.

Вывод:

С ростом периода следования импульса гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте, а общий уровень спектральных составляющих становится всё меньше. При этом вид вычисляемого интеграла не меняется. Если устремить период к бесконечности (периодическая последовательность переходит в одиночный импульс) гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную ось.

Однако взаимное соотношение между уровнем гармоник остаётся неизменным и определяется интегралом. Поэтому при спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчёта коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется так:

1 Частота перестаёт быть дискретно меняющийся и становится непрерывным параметром преобразования

2 удаляются множители 1/Т

3 Результатом вычислений вместо номерованных коэффициентов ряда Ск являются функция частоты В рез-те перечисленных модификаций получаем прямое преобразование Фурье: S(w) – спектральная функция сигнала S(t).

В результате перечисленных модификаций наша формула переходит в формулу прямого преобразования Фурье _{. В формуле самого ряда Фурье суммирование заменяется интегрированием, и используя перед интегралом коэффициент деления на 2π получаем обратное преобразование Фурье}

Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять требованиям:

1 Должно выполняться условие Дирихле

2 Сигнал должен быть абсолютно интегрируемый- интеграл от его модуля – конечная величина . С-л можно записать в виде.

Модуль спектральной хар-ки (комплексной спектральной плотности) наз. Спектральной плотностью амплитуд или амплитудным спектром, а её аргумент – фазовым спектром с-ла.

Равенство Парсеваля

Равенство Парсеваля – соотношение позволяющее вычислить энергию сигнала как во временной так и в частотной области.

Оно утверждает, что энергия заключённая в импульсе равна сумме энергий всех составляющих его спектров.

Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигнала: если некоторая система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает что часть энергии сигнала теряется.