2. Завдання для самостійної роботи

Для електричних кіл, схеми яких зображені на рисунках 7.37.7 методом вузлових напруг розрахувати напруги і струми усіх гілок. Параметри елементів схеми приведені для кожного рисунку.

Варіанти індивідуальних завдань задаються викладачем.

Варіанти індивідуальних завдань

а) б) в) г)

Рисунок 7.3

Параметри елементів:

R₁ = 1 кОм, R₂ = 2 кОм, R₃ = 3 кОм, R₄ = 4 кОм,

i₅ = 5 мА, i₆ = 10 мА, u₅ = 10 В, u₆ = 5 В.

Рисунок 7.4 Рисунок 7.5

Параметри елементів: Параметри елементів:

R₁=R₂=5 кОм, R₃=4 кОм, R₄=1 кОм, R₁ =1 кОм, R₂ =2 кОм, R₃ =3 кОм,

R₅ = 1.2 кОм, u₆ = 20 В. R₄ =4 кОм, R₅ =1 кОм, R₆ =2 кОм,

R₇ =3 кОм, R₈ =4 кОм, u₉ = u₁₀ = 5 В,

u₁₁ = u₁₂ = 15 В, u₁₃ = 10 В.

Рисунок 7.6 Рисунок 7.7

Параметри елементів: Параметри елементів:

R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ =1 кОм, R₁ = R₃ = 1 кОм, R₂ = R₄ = 2 кОм,

u₇ = u₈ = u₉ = 2 В, u₁₀ = 4 В. R₅ = 3 кОм, u₆ = 8 В, u₇ =12 В.

Примітка:

Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету комп’ютерного модулювання Multisim 8.

3. Порядок оформлення звіту

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

4. Контрольні питання

1. Сформулюйте перший і другий закони Кірхгофа.

2. Як визначається кількість лінійно-незалежних рівнянь, що складаються за першим і другим законами Кірхгофа?

3. Що таке власна провідність вузла і взаємна провідність між вузлами?

4. Визначте порядок розрахунку кіл методом вузлової напруги; число незалежних рівнянь, що складаються по методу вузлової напруги.

5. Визначте порядок розрахунок напруг і струмів гілок за відомими вузловими напругами.

6. У чому полягає особливість вибору базисного вузла при наявності в колі джерел напруги?

Лабораторна робота № 8 метод комплексних амплітуд

Мета роботи: освоїти розрахунок лінійних електричних кіл методом комплексних амплітуд при гармонічній зовнішній дії.

1. Стислі теоретичні відомості

1.1 Поняття про символічний метод

Усталені значення струмів і напруг лінійного кола, що знаходиться під гармонічною дією, можуть бути знайдені шляхом безпосереднього вирішення диференціального рівняння кола, проте навіть для відносно простих кіл ця задача виявляється досить складною. На практиці аналіз таких кіл зазвичай виконують за допомогою методу комплексних амплітуд.

Метод комплексних амплітуд, подібно до відомого логарифмічного методу, заснований на ідеї функціонального перетворення, при якому операції над початковими функціями (оригіналами) замінюються простішими операціями над деякими новими функціями, так званими зображеннями або символами початкових функцій. Методи такого типу називатимемо символічними. Незалежно від типу використовуваних функціональних перетворень рішення будь-якої задачі символічними методами містить, як правило, наступні основні етапи:

1. пряме перетворення, в результаті якого здійснюється перехід від початкових величин (оригіналів) до їх символів (зображенням);

2. визначення зображень шуканих величин шляхом виконання по спеціально встановлених правилах операцій над зображеннями;

3. зворотне перетворення, за допомогою якого переходять від зображень до оригіналів.

Зокрема, при використанні логарифмічного методу початкові величини на першому етапі замінюють їх логарифмами. На другому етапі, виконуючи необхідні дії над логарифмами початкових величин, знаходять логарифми шуканих величин; операції над логарифмами виявляються простішими, ніж відповідні їм операції над початковими величинами (наприклад, множенню початкових величин відповідає складання їх логарифмів, піднесенню початкової величини до ступеня т – множення логарифма цієї величини на т і т. д.). На третьому етапі здійснюють зворотний перехід від логарифмів безпосередньо до шуканих величин.

2. Символічне зображення гармонічних функцій часу комплексними числами

Символічний метод комплексних амплітуд (комплексний метод, іноді, просто – символічний метод) заснований на представленні гармонічних функцій часу за допомогою комплексних чисел. Можливість подібної заміни обумовлена тим, що в режимі гармонічних коливань всі коливання мають одну і ту ж заздалегідь відому частоту. Але тоді функція s(t)=S_mcos(t+ψ), що описує задане або шукане гармонічне коливання відомої частоти, характеризується лише двома дійсними числами: S_m і ψ. Ці два числа можна об'єднати в одне комплексне число, яке може розглядатися як символічне зображення косинусоїдальної функції. Зрозуміло, що операції над числами простіші за операції над функціями. Це і зумовило широке застосування символічного методу аналізу режиму гармонічних коливань в електричних колах.

Нагадаємо, що к о м п л е к с н и м числом А називається вираз вигляду

А = А' + jА" (1)

де А' і А" — дійсні числа, які називаються відповідно д і й с н о ю і уявною частинами комплексного числа; j= – уявна одиниця. Дійсну і уявну частини комплексного числа іноді позначають: А' = Re[А ], А" = Im[А ]. Вираз (1) - це алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Рисунок 8.1

Комплексне число А зображається на комплексній площині у вигляді точки А, абсциса якої рівна А', а ордината – А" (рис. 8.1, а). Ось абсцис, на якій відкладається дійсна частина комплексного числа, називається дійсною (Re); ось ординат, на якій відкладається уявна частина, – уявною (Im).

Кожній точці А комплексної площини і, отже, кожному комплексному числу А можна поставити у відповідність вектор А, проведений з початку координат в точку А (рис. 8.1, б). Довжину вектора, що зображає комплексне число, називають модулем цього числа

(2)

Кут , що утворюється вектором А з позитивним напрямом дійсної осі, називають а р г у м е н т о м комплексного числа:

 = arctg+2n. (3)

Позитивний напрям відліку кута  – проти годинникової стрілки. Аргумент комплексного числа може мати нескінченну безліч значень, що відрізняються одне від одного на 2п, де п – ціле число. Головне значення аргументу поміщене в проміжку –    +.

Як бачимо на рис. 8.1, б, дійсна А' і уявна А" частини комплексного числа А є проекції вектора А на дійсну і уявну осі відповідно:

A' =Re [А ] = | A | cos ; A" = Im [A ] = | A | sin . (4)

Підставляючи співвідношення (4) у вираз (1), можна перейти від алгебраїчної форми запису до т р и г о н о м е т р и ч н о ї:

А = А' + jА" = | A | cos а + j| A | sin а. (5)

Далі, використовуючи формулу Ейлера:

е ^ja = cos  + jsin , (6)

отримуємо показову (символічну) форму запису комплексного числа.

Два комплексних числа А = А' + jА" і А^ = А' – jА" називаються спряженими, якщо їх дійсні частини рівні, а уявні відрізняються тільки знаками. Точки на комплексній площині, що зображають спряжені комплексні числа, симетричні щодо дійсної осі (рис 8.1, в).

Обчислення з комплексними числами зводяться до дій з дійсними числами, причому операції складання і віднімання зручніше проводити, використовуючи алгебраїчну форму запису, а множення і ділення зручніше проводити в показовій формі.

Отже, при символічному зображенні косинусоїдальної функції s(t)= S_m cos(t + ψ), параметр  якої відомий, використовується комплексне число

e^jψ. (6)

Його модуль і аргумент дорівнюють відповідно параметрам S_m і ψ функції.

Між косинусоїдальною функцією і її символічним зображенням існує взаємо-однозначна відповідність. За заданою функцією, використовуючи вираз (6), можна знайти її символічне зображення і, навпаки, за відомим символічним зображенням косинусоїдальної функції знаходяться її параметри S_m і ψ за формулами:

і. (7)

Наприклад, якщо , тоS_m = 1.2,

ψ = 0.2π і s(t) = 1.2 cos(t + 0.2π).