Тема 8 Оценивание параметров и проверка статистических гипотез в случае выборок малого объема Решение типового примера

С целью сравнения качественных и количественных показателей двух однотипных производственных процессов AиBпроведены выборки (x₁,x₂, …,x_n) и (y₁,y₂, …,y_n) объемовn_xиn_yсоответственно.

1. Для каждой выборки оценить математическое ожидание aи дисперсию²путем: а) вычисления выборочных среднихи, исправленных выборочных дисперсийи; б)построения доверительных интервалов для математических ожиданий a_x и a_у и дисперсий ис надежностьюγ = 0,95.

2. Допуская, что выборки (x₁,x₂, … ,x_n) и (y₁,y₂, … ,y_n) осуществлены из нормально распределенных генеральных совокупностейXиYс параметрами (a_x, σ_x) и (a_y, σ_y) соответственно, при уровне значимостиα= 0,05: а) пользуясь критерием Фишера, проверить гипотезу=и установить, является ли один из производственных процессов эффективнее другого; б) пользуясь критерием Стьюдента, проверить гипотезуa_x=a_уи установить, можно ли считать распределение между среднимиислучайным, или оно является существенным и связано с различием производственных процессов.

В таблице приведены показатели производительности труда рабочего, изготавливающего на станке детали до (режим работы A) и после (режим работыB) усовершенствования обработки деталей.

Режим работы	Количество деталей за смену
А	42	43	38	40	43	38	40	41	39	42
В	42	43	44	42	44	43	40	42	41

Проведем количественное и качественное сравнение производительности труда рабочего для режимов работы АиВ.

1 Оценивание неизвестных математических ожиданий и дисперсий

Точечной оценкой математического ожидания агенеральной совокупности является выборочная средняя. Выборочные средниеивычисляются по формулам:

.

Часто удобно пользоваться формулами

.

В данном случае имеем

Несмещенной оценкой дисперсии σ²генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсияs². Значенияибудем находить по формулам:

Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая данные первой выборки на 38, а второй выборки на 40, находим

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

Для нахождения доверительного интервала математического ожидания агенеральной совокупности необходимо представитьав виде

где – точечная оценкаа(среднее выборки);δ– точность оценки. Если выборка малого объемаn, то точность оценкиδопределяется формулой

.

Здесь s – выборочное среднее квадратическое отклонение; – квантиль распределения Стьюдента (приложение Г), вычислен­ный при уровне значимостиα = 1 – γ и k = n – 1 степеней свободы.

Для старого режима работы Аимеем:

Для нового режима работы В:

Следовательно, с надежностью γ= 0,95

,

т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий имеют вид .

Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 41 деталей за смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95% он может изготавливать уже 42 или 43 детали за смену. Видим, что произошло качественное изменение производительности труда.

Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных дисперсий и. Для дисперсииσ², генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид

.

Здесь n– объем выборки;s²– оценка дисперсииσ²;и– квантили распределения Пирсона (приложение Д), вычисленные при уровне значимостиαи числе степеней свободыk=n – 1.

Для старого режима работы А:

Для нового режима работы В:

Как видим, доверительные интервалы для генеральных дисперсий ипересекаются. Поэтому с надежностью 95% у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий (=). Это означает, что усовершенствование обработки деталей не приводит к повышению эффективности обработки.