Практичне заняття 2.1 Тема: Хвилі де Бройля Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля λ для двох випадків: 1) ; 2) .

Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля λ частинки залежить від її імпульсу р і визначається формулою:

. (1)

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Е_к. Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли ) і релятивістського () випадків відповідно виражається формулами:

; (2)

. (3)

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться відповідно у нерелятивістському та релятивістському випадках:

; (4)

. (5)

Порівняємо кінетичні енергії електрона, який пройшов задану в умові задачі різницю потенціалів і , з енергією спокою електрона і в залежності від цього вирішимо питання, яку з формул (4), (5) слід застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U, дорівнює:

.

У першому випадку , що набагато менша від енергії спокою електрона . Тобто, можна застосувати формулу (4).

Для спрощення розрахунків відмітимо, що . Підставивши цей вираз у формулу (4), перепишемо її у вигляді:

.

Врахувавши, що є комптонівська довжина хвилі λс, одержимо:

.

Так як , то

.

У другому випадку кінетична енергія дорівнює , тобто рівна енергії спокою електрона. Отже, необхідно застосувати релятивістську формулу (5).

Врахувавши, що , за формулою (5) знайдемо:

, або .

Підставивши значення λ_с в останню формулу і провівши обчислення, одержимо:

.

Приклад 2. На вузьку щілину шириною направлений паралельний пучок електронів, що мають швидкість . Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань х між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракційній картині, одержаній на екрані, віддаленому на від щілини.

Розв’язання. Згідно гіпотезі де Бройля, довжина хвилі λ, яка відповідає частинці масою т, що рухається зі швидкістю v, виражається формулою:

. (1)

Дифракційний максимум при дифракції на одній щілині спостерігається за умови:

, (2)

де k = 0, 1, 2, 3, ... – порядковий номер максимумів; а – ширина щілини.

Для максимумів першого порядку (k = 1) кут φ малий, тому sinφ = φ, а, отже, формула (2) набуде вигляду:

; (3)

шукана величина х, як випливає з рис.1:

, (4)

оскільки tgφ = φ.

Підставивши значення φ із співвідношення (3) у формулу (4), отримаємо:

.

Підстановка в останню рівність довжини хвилі де Бройля за формулою (1) дає:

. (5)

Після обчислення за формулою (5) одержимо:

.

Приклад 3. На грань кристала нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання θ змінюється. Коли цей кут дорівнює 64°, спостерігається максимальне віддзеркалення електронів, відповідне дифракційному максимуму першого порядку (відстань d між атомними площинами кристала рівною 200 пм). Визначити довжину хвилі де Бройля λ електронів та швидкість .

Розв’язання. До розрахунку дифракції електронів від кристалічної решітки застосовується те ж рівняння Вульфа-Брегга, яке використовується у разі рентгенівського випромінювання:

,

де d – відстань між атомними площинами кристала; θ – кут ковзання; k – порядковий номер дифракційного максимуму; λ – довжина хвилі де Бройля. Очевидно, що

.

Підставивши в цю формулу значення величин і обчисливши, одержимо

.

З формули довжини хвилі де Бройля

,

виразимо швидкість електрона:

.

Підставивши в цю формулу значення π, ħ, т (маса електрона), λ і провівши обчислення, знайдемо

.