3.2. Математическая модель задачи.

Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением: дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин;

q_н – дебит нефти.

Понятно, что . Так как кривая на рис.3.1 выражает зависимость.

Поскольку получим. Из предыдущего равенства имеем

. или . (3.1)

. (3.2)

Полученная задача Коши (3.1) – (3.2) решается различными численными методами.

Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена в [4]. В качестве аппроксимирующей функций зависимости приведенной в рис.6 используем выражение

(3.3)

3. называется функцией Баклея – Леверетта, где а – положительная константа.

3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)

Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.

Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .

1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением

.

Где

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .

Погрешность метода. , где– константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.

2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.

Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точкеуже известно. Для нахожденияпоступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлеравычислим промежуточное значение, а затем воспользуемся разностным уравнением, из которого явным образом найдем искомое значение.

Погрешность метода. , где– константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.

3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.

Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:

Погрешность метода.

, где – константа, не зависящая отк.

4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Погрешность метода.

, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая отк.

Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.

, где .

4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки. Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача 1-го рода.

4.1. Постановка задачи

Задача. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой , пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачиα (ккал/м². час град.). Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ(х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.

4.2. Математическая модель

Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура в поперечном сечений трубопровода не вполне постоянна и является функцией расстояния х и расстояния поверхности стержня.

Однако, если трубопровод достаточно тонкий и если теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь температурными градиентами в направлениях перпендикулярных к оси трубопровода и принять температуру постоянной в каждой точке поперечного сечения, перпендикулярного оси Ох. При таком допущении температура является функцией только одного независимого переменного х и распределение температуры может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сечения p м, площадь поперечного сечения Q м². Исследуем процесс распространения тепла в элементарном отрезке длиной dx на расстоянии х от того конца стержня, температура которого t₁. Количество тепла проходящего за время d через сечение трубопровода находящееся на расстоянии х от начало трубопровода, согласно теории теплопередачи, будет равно:

Количество тепла, прошедшее за время d через сечение, находящееся на расстоянии х + dx от начала, будет равна:

Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими от начала на расстояниях х и х + dx, вследствие теплопроводности, приобретает за время d количество тепла, равное разности указанных количеств, т.е.:

За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую среду будет равна:

Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то:

Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному уравнению:

В итоге получена задача:

Это уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий интеграл будет:

Используя граничные условия, составим систему:

откуда

Подставляя значения С₁ и С₂ получим:

Выделим элемент длины dх, находящийся на расстоянийхот левого конца, и примем его температуру равной. За время∆tчерез левую границу этого элемента пройдет количество тепла

а через правую на расстоянии х+dхот конца

Таким образом, выделенный участок приобретает за время tколичество тепла, равное разности

.

Вместе с тем потеря тепла этого элемента через поверхности в окружающую среду равна

.

Вследствие предположения о стационарности процесса эти количества равны, т.е.

откуда

(4.1)

Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.

, (4.2)

Численный пример. Пусть  = 10

 = 300 ккал/мчасград

тогда

При этом случае получится зависимость