Характеристична властивість точок еліпса

Сума відстаней від будь–якої точки еліпса до двох даних точок – фокусів (або сума фокальних радіусів , ) є величина стала, яка дорівнює великій осі еліпса, тобто .

Зауваження. Характеристичну властивість точок еліпса можна прийняти за його геометричне означення.

Зазначимо, що у попередньому конкретному прикладі маємо саме такий випадок ( ; ; – одного знака), тому рівняння зводиться до такого нормального рівняння еліпса:

або .

О

y

x = 5

тже, вихідне рівняння ІІ степеня визначає на площині еліпс з параметрами: центр ; – велика, а – мала півосі); відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет . Цей еліпс можна схематично побудувати (див. рис.2):

x 0 1 В1 2,8 2,8 y = –1,5 А1 А2 1 2,6 2,6 0' F1 F2 Рис.2 В2

б) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі .

Наприклад: ; еліпс;

; ; ; ;

; ;

– нормальне рівняння еліпса (рис.3)

1,4 1,4 1,7 1,7 1 х y 0 х = –1 F1 F2 Рис.3

Параметри: центр ; – мала, а – велика півосі; відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет .

в) у випадку еліпс перетворюється в коло з центром радіуса .

Наприклад:

y

нормальне рівняння кола. (рис.4) Параметри: центр ; радіус .

y = 2 x 0 x = 4 Рис.4

2. Якщо в рівнянні (9.2) і – різних знаків, то немає точок площини, координати яких задовольняли б рівняння. У цьому випадку кажуть, що рівняння визначає уявний еліпс.

Наприклад: ; еліпс.

; ;

; ;

; .

Дістали рівняння, ліва частина якого набуває при будь–яких тільки невід’ємних значень. Отже, рівняння визначає порожню множину точок – уявний еліпс.

3. Якщо , то рівняння (9.2) набуває вигляду:

,

і визначає єдину точку – вироджений еліпс.

ІІ. Гіперболічний випадок .

Аналогічно еліптичному випадку загальне рівняння (9.1) приводиться до вигляду (9.2):

.

1. Якщо , то, поділивши обидві частини рівняння (9.2) на або (– ), дістанемо одне із двох рівнянь:

– нормальні рівняння гіперболи.

Можна показати, що ці рівняння визначають на площині:

а) – гіперболу з дійсною віссю, вершинами і фокусами – на прямій (див. рис.5)

y

M (x, y) B1 b F2 F1 O’ y = y0 A1 A2 a a b B2 x 0 x = x0 Рис.5

Параметри: центр ; – дійсна, – уявна півосі; вершини ; фокуси знаходяться на прямій на відстані від центра ; ексцентриситет – відношення міжфокусної відстані до дійсної осі – , який для гіперболи ; асимптоти – прямі (діагоналі так званого „основного прямокутника”), що визначаються рівняннями .

Нагадаємо, що пряма є асимптотою лінії , якщо при прямуванні точки по лінії у нескінченність відстань від цієї точки до асимптоти прямує до нуля.