7.4. Интегральная и локальная теоремы Муавра – Лапласа. Следствия.

Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, то вероятность того, что числонаступления события в независимых испытаниях заключено в пределах отдо(включительно), при достаточно большом числе приближенноравна

, (1)

где -функция Лапласа.

Формула (1) называется интегральной формулой Муавра— Лапласа.

Чем больше , тем точнее эта формула. При выполне­нии условия интегральная формула (1) дает незначительную погрешность вычисления веро­ятностей.

Следствия

Следствие 1. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что частотанаступления событияотличается от произведенияпо абсолютной величине не более, чем на величину , определяется по формуле

. (2)

Доказательство.

Следствие 2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что частостьнаступления событияотличается от вероятности этого события в отдельном испытаниипо абсолютной величине не более, чем на величину , определяется по формуле

.(3)

Доказательство.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отличнаот и, топри достаточно большом числе независимых испытаний вероятностьтого, чтособытие произойдетраз внезависимых испытаниях определяется по формуле

, (4)

где ,.

Формула (4) на­зывается локальной формулой Муавра—Лапласа.

Чем больше , тем точнее эта формула. При выполне­нии условия локальная формула (4) дает незначительную погрешность вычисления веро­ятностей.

Таблица значений функции приведена в приложении 1.

109