Приклад 5.

Записати дріб у вигляді суми елементарних раціональних дробів: .

Розв’язання.

; ;.

Загальне правило інтегрування раціональних дробів.

• Якщо дріб неправильний, то виділити цілу частину.

• Розкласти знаменник правильного раціонального дробу на лінійні множники та квадратні з дискримінантом меншим нуля.

• Замінити раціональний дріб сумою елементарних раціональних з невизначеними коефіцієнтами (використовуючи метод невизначених коефіцієнтів знаходимо невідомі числа)

• Обчислюємо інтеграли від раціонального дробу як суму інтегралів.

Приклад 6.

Знайти інтеграл а) б)

Розв’язання.

а)

1) –правильний дріб

2)

3)

4)

б)

1)

2)

3)

, ,

4)

Інтегрування в скінченому вигляді.

Не завжди на відміну від похідної інтеграл від елементарної функції може бути виражений у вигляді елементарних функцій.

Наприклад:

- через елементарні функції виразити не можливо.

4. Метод інтегрування ірраціональних виразів (МІІВ)

Цей метод використовується для обчислення інтегралів виду

І. ,

де - дробові раціональні числа, а- раціональна функція від аргументів(іншими словами- це ірраціональні функції).Для розв’язання використовують підстановку , - найменше спільне кратне знаменників дробів.

ІІ.

інтеграл обчислюють за допомогою підстановки .

ІІІ.

Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.

Знайти інтеграли

а) ; б); в).

Розв’язання.

а) Подамо інтеграл

у вигляді

. Розглянемо останній інтеграл і знайдемо найменше кратне знаменників дробів

та - є число 6=п.

Використаємо підстановку , тоді,, тому

, ,

Одержимо =

використаємо ділення кутом, отримаємо

Виділимо цілу частину дробу, одержимо

Таким чином отримаємо

=

б) Для інтеграла використаємо заміну:

, ,,,

, .

Одержимо

в) Нехай маємо . Застосуємо підстановку:

Знайдемо х і , до множимо на знаменник, згрупувавши і винісши за дужких, отримаємо , звідки

,

тому

.

Тоді виконуючи підстановку, одержимо

Інтегруємо частинами

.

Враховуючи, що перед інтегралом стоїть стала -4, отримаємо відповідь

.

Запишемо додаткові види приклади, які значно полегшать обчислення інтегралів на практиці.

І.

Обчислити

.

ІІ. .

Обчислити

.

ІІІ.

.

Обчислити

.

Підінтегральна функція після виділення повного квадрата і замінираціоналізується тригонометричними підстановками; при цьому, залежно від знака дискримінанту квадратного тричлена та знака коефіцієнтаа можливі такі випадки:

IV.

.

V. .

VI. .

Обчислити

Важливу роль в інтегруванні ірраціональних функцій відіграють підстановки ЕЙЛЕРА (названі в честь відомого математика).

Підстановки Ейлера, за допомогою яких завжди раціоналізується вираз виду , де— раціональна функція розрізняються, в залежності від функції, яка знаходиться під знаком радикала, натри основні види.

Перша підстановка :

.

Друга підстановка :

.

Третя підстановка :

або .

Обчислити інтеграл

Виокремити алгебраїчну частину з інтеграла , де— многочлен-го степеня, можна за формулою:

де — многочленn-го степеня, Коефіцієнти цьогомногочлена знайдемо за методом невизначених коефіцієнтів, а продиференціювавши останню рівність і потім помноживши на , дістанемо:

Звідси методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .

Обчислити