1.6. Линейная зависимость векторов**

Векторылинейно независимы, если из равенства

следует, что .В противном случае векторы называютсялинейно зависимыми.

Если произвольный вектор можно представить в виде, то говорят, что этот векторлинейно выражается через векторы.

Справедливы следующие утверждения:

1) векторы (при )линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные;

2) если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым;

3) векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Пример.Разложить вектор по векторами.

Решение.;;;.

. Нахождение неизвестных параметров ₁ и ₂ сведем к решению системы:

Систему решим методом Крамера:

; .Тогдавектор в разложении по векторамибудет иметь следующий вид:.

Литература: [ 1, гл. 5, § 5.11];[3, гл.2, п. 12.5].

1.7. Скалярное произведение векторов, его свойства и применение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназываетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 7):

.

Из рис. 7 видно, что .Поэтомуили.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свой­ствами:

1. – переместительный закон;

2. – распределительный закон;

3. Есливекторы иколлинеарны (), то;

4. Есливекторы иортогональны (), то (или или);

5. Скалярный квадрат вектораравен квадрату длины этого вектора.

В частности, скалярное произведение единичных векторов (ортов) удовлетворяет равенствам (рис. 8):

В координатной форме скалярное произведение векторов иравно.

Пример 1.Найтидлину вектора , если,,.

Решение. Воспользуемся пятым свойством скалярного про­изведения векторов:

.

Применение скалярного произведения векторов.

1. Нахождение угла между векторамии:

.

Пример 2. Даны вершины треугольника ,и. Найти внутренний угол при вершине С.

Решение.Для нахождения угла найдем координаты векторови.

;.

Тогда

. Таким образом,.

Пример3.Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение.Определим на оси орти найдем его координаты. Для этого воспользуемся тождеством. Так каклежит на оси, то он образует с осями координат равные острые углы. Таким образом,==. Тогда тождество примет вид:

, или . Это означает, что орт осиимеет координаты.

Найдем косинус угла между ортом и вектором :

.

Тогда проекция вектора на осьбудет равна

.

2. Нахождение проекции вектора на вектор. Пусть векторы заданы в координатной форме: и. Тогда проекции определяются формулами:

;

.

Пример 4.Найти проекцию вектора на вектор.

Решение.

.

3. Проверка векторов на ортогональность. Два ненулевых вектора иортогональны тогда и только тогда, когда

.

Пример 5.Даны вершины четырехугольника ,,,. Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. Найдем координаты векторов, определяющих диаго­нали четырехугольника , или;

,или.Проверим ортогональность этих векторов:

.

Это означает, что диагонали данного четырехугольникавзаимно перпендикулярны.

4.Нахождение работы постоянной силы.* Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием силы ,образующей угол с перемещением (рис. 9). Из курса физики известно, что работа силыпри перемещении равна.

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора перемещения на вектор силы.

Пример 6.Вычислить работу, произведенную силой ,если она имеет координатыаточка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2; 4; 6) в положение В(4; 2;7). Под каким углом к направлена сила ?

Решение.Найдем перемещение материальной точки ., или.Тогда

(ед. работы).

Угол между инайдем поформуле

Литература: [ 1, гл. 5, § 5.7]; [2, гл. 18, § 12];[3, гл.2, п. 12.11];[4, гл. 2, §6].