Т е м а 4. Функции нескольких переменных
При изучении этой темы следует усвоить определения частных производных и правила их вычисления, обратить внимание на схему нахождения частных производных высших порядков. При решении задач на экстремум нужно придерживаться последовательности действий по исследованию функции.
Вопросы для изучения и самопроверки
1. Определение функции двух и нескольких переменных. Область определения.
2. Частные производные функции двух переменных.
3. Полный дифференциал функции двух переменных.
4. Частные производные высших порядков.
5. Условия экстремума функции двух переменных.
6. Схема исследования функции двух переменных на экстремум.
Задачи контрольной работы
В задачах 101–120найти экстремум функции двух переменных
|
101. |
102. |
|
103. |
104. |
|
105. |
106. |
|
107. |
108. |
|
109. |
110. |
|
111. |
112. |
|
113. |
114. |
|
115. |
116. |
|
117. |
118. |
|
119. |
120. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Решение типового примера
Найти экстремум функции
.
Находим частные производные первого
порядка:
.
Находим стационарные точки. Для этого
приравняем частные производные первого
порядка к нулю и решим полученную систему
уравнений:
.
Эта система распадается на четыре
системы:
или
или
или
.
Решая их, получим четыре стационарные точки:
М1(0;0),M2(1;0),M3(0;1),M4(
).
Найдем частные производные второго порядка:
.
Определим значения частных производных второго порядка в стационарных точках :
;
;
.
Выражение
Следовательно,
в точке М1функция экстремума не
имеет.
;
;
.
.
В точке М2функция также экстремума не имеет.
;
;
.
.
В точке М3экстремума нет.
;
;
.
.
На основании
достаточных условий делаем вывод, что
в точке
функция имеет экстремум. Так как
,
то в точке
функция имеет максимум.
.
Т е м а 5. Неопределенный и определенный интегралы
Для решения задач по этой теме нужно обратить внимание на определения первообразной и неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла, знать таблицу основных интегралов и основные методы интегрирования. Успех в решении задач достигается правильным выбором метода интегрирования и накопленным опытом вычисления интегралов. Особое внимание следует уделить методам подстановки и интегрирования по частям. Изучение определенного интеграла следует начинать с задач, приводящих к понятию определенного интеграла. Усвоить определение и свойства определенного интеграла, формулу Ньютона–Лейбница и ее применение. Изучить методы вычисления определенного интеграла и их специфику по сравнению с аналогичными методами в неопределенном интеграле, обратить внимание на применение определенного интеграла в геометрии и при решении конкретных практических задач.
Вопросы для изучения и самопроверки
1. Понятие первообразной.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Таблица интегралов.
4. Основные методы интегрирования.
5. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
6. Определенный интеграл и его свойства.
7. Формула Ньютона–Лейбница.
8. Методы вычисления определенного интеграла.
9. Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов.
10. Применение определенного интеграла в задачах практического характера.