7.7. Частотные характеристики стохастического сигнала

Введенная выше автокорреляционная функция описывает временные параметры стохастического сигнала. Преобразовывая ее по Фурье, можно получить адекватное частотное описание стохастического сигнала, Преобразованная по Фурье автокорреляционная функция называется спектральной плот­ностью сигнала и обозначается через :

.

Так как представляет собой чётную функцию, то спектральная плотность всегда является чётнойи действительной функцией . Поэтому эта зависимость идентична следующему:

.

Обратное преобразование осуществляют по следующим формулам:

, .

Спектральную плотность физически можно интерпретировать как плотность мощности сигнала, распределенную по частотам .

Из последнего соотношения следует:

. Информация о тенденции к сохра­нению стохастического сигнала, содержащаяся в автокорреля­ционной функции, содержится также и в спектральной плот­ности. Слабая тенденция к поддержанию сигнала означает, что уже при малом смещении времени величиныи становятся некоррелированными. Этому соответствует быстро спадающая с увеличением автокорреляционная функция. В спек­тральной плотности это проявляется в том, что «мощность» сиг­нала распределена и на высоких частотах. Если сигнал имеет широкочастотный спектр, то он быстро изменяется во времени.

7.8. Дискретные сигналы

При численной обработке диаграмм измерительных приборов, при аналого-цифровых преобразованиях, при считывании измерительных сигналов посредством переключения точек измерения, при использовании точечных регистраторов приходится считаться с потерей информации.

Импульсный сигнал можно представить в виде произведения последовательности стробирующих импульсов на первоначальный измерительный сигнал. Особый интерес представляет описание таких сигналов в частотной области.

Последовательность стробирующих импульсов является пе­риодической функцией, поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье, обозначаемого через :

,

где — круговая частота следования стробирующихимпульсов.

Тогда воспроизводящий импульсный сигнал (t) можно опи­сать следующим образом:

.

Изображение по Лапласу сигнала (t) находим с помощью теоремы смещения:

.

7.9. Динамические погрешности измерения

При необходимости определения с помощью измерительной системы величины, изменяющейся во времени, в каждом случае возникает динамическая погрешность вследствие того, что показание x_a (t) не может точно отслеживать изменение измеряемой величины x (t). При медленном по отношению к измерительной системе изменении определяемой величины этой погрешностью можно пренебречь. Однако при быстрых изменениях - погрешность становится значительной и часто настолько большой, что результат измерения является совершенно неприемлемым. Так как измерение изменяющихся во времени процессов должно осуществляться с течением времени во все возрастающем объеме, динамические погрешности на практике приобретают все большее значение.

Для определения динамической погрешности измерения будем рассматривать линейную измерительную систему, у которой статические погрешности E_ст не зависят от динамических и поэтому могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения. Этому соответствует принятие статически исправленных значений показаний . Тогда мгновенная динамическая погрешность может быть определена следующим образом:

причем в установившемся состоянии и E_{дин/уст} = 0.

Согласно этому определению мгновенная динамическая погрешность является функцией времени, так как процессы иx (t) также являются функциями времени (описаны во временной области).

Для описания в частотной области последнее уравнение подвергается преобразованию Лапласа:

Так как E_дин является функцией времени или переменной изображения s и, следовательно, является процессом, такое указание погрешности редко используется. Более приемлемым для практики является указание среднего значения. Во временной области при нестационарном изменении измеряемой величины x (t) по аналогии с автоматическим регулированием в качестве меры погрешности используются принятые критерии качества [х (t) ограничено во времени]:

причем форма

имеет наибольшее практическое значение.

Для стационарных процессов изменения определяемой величины (периодических или стационарных стохастических) наибольший интерес представляет среднеквадратичная динамическая погрешность:

65