§11. Принадлежность точки и линии простейшей поверхности

При решении задачи о принадлежности точки поверхности вращения используют параллели этой поверхности. На рис.1.65 построены точки А. На цилиндрической и конической поверхности можно также использовать для этих целей образующие (см. рис.1.65).

При решении задачи на поверхности призмы или пирамиды используются прямые линии, построенные в гранях этих поверхностей (рис.1.83).

Рис.1.83

При построении кривой линии, принадлежащей поверхности, строят проекции ряда точек, принадлежащих этой линии. На рис.1.83г по заданной фронтальной проекции линии А"В"С" построена ее горизонтальная проекция.

Глава VI. Взаимное пересечение поверхностей

(частные случаи)

§12. Алгоритм решения задачи

При пересечении двух поверхностей получается линия l, все точки которой принадлежат одновременно пересекающимся поверхностям α и β (рис.1.84 и рис.1.85).

Рис.1.84

Рис.1.85

В зависимости от вида и взаимного расположения поверхности могут иметь одну иди несколько линий взаимного пересечения.

Общим способом построения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, является способ вспомогательных секущих поверхностей (посредников).

Последовательность решения задачи (алгоритм) следующая:

- вводят вспомогательную секущую поверхность γ;

- определяют линии пересечения этой поверхности, с каждой из заданных l=γα, m=γβ;

- находят точку, в которой пересекаются полученные линии. Эта точка принадлежит искомой линии пересечения A=lm.

Повторив указанные операции (рис.1.86) n раз, получают n точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Рис.1.86

Используя символическую запись, алгоритм решения задачи можно представить так: K=(А₁А₂А₃...А_n), А_1,2,...n=(γ_1,2,...nα)(γ_1,2,...nβ).

Перечень и последовательность построений для решения этой задачи условимся называть алгоритм №2.

§13. Относительное положение плоскостей. Пересечение плоскостей. Параллельные плоскости

Две плоскости пересекаются под некоторым углом. Если угол равен нулю, то линия их пересечения удалена в бесконечность - плоскости параллельны. Если угол равен 90° - плоскости взаимно перпендикулярны.

Две плоскости пересекаются между собой по прямой, для определения которой достаточно найти две точки, общие для этих плоскостей (рис.1.87).

Рис.1.87

Для решения задачи используют алгоритм №2.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей используют плоскости частного положения.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пример 1. На рис.1.88 изображена плоскость общего положения α, пересекающаяся с горизонтальной плоскостью β. Требуется построить линию пересечения плоскостей.

Рис.1.88

Линия l пересечения плоскостей будет горизонтальной, т.к. она лежит в плоскости β. Следовательно, она будет являться горизонталью плоскости α. Фронтальная проекция l" линии пересечения совпадает с проекцией β" плоскости. Т.к. l" - горизонталь плоскости α, то ее горизонтальная проекция l'||h_0α. Для построения l' воспользуемся следом горизонтали (рис.1.88б).

Пример 2. Заданы пересекающиеся плоскости: α - общего положения, и β - горизонтально-проецирующая. Требуется построить проекции линии пересечения.

Решение приведено на рис.1.89.

Рис.1.89

Горизонтальная проекция l' линии пересечения совпадает с проекцией β' плоскости. В точках А₁ и А₂ прямая l пересекает прямые, задающие плоскость α. По горизонтальным проекциям этих точек найдены фронтальные проекции А"₁, и А"₂ и проведена фронтальная проекция l" линии пересечения l.

Пример 3. Построить проекции линии пересечения плоскости α с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n. Решение видно из рис.1.90.

Рис.1.90

Пример 4. Построить проекции линии пересечения плоскостей α и β (рис.1.91).

Рис.1.91

Известно, что линия пересечения l=А₁,А₂. Для нахождения точки А, проведем вспомогательную плоскость γ₁||π₁. Эта плоскость пересечет плоскость α по горизонтали h (h', h") и плоскость β по горизонтали ВС (В'C', B"С"). Построение проекций видно из чертежа. Пересечение горизонталей h и BC дают точку А₁ (А'₁, А"₁), которая принадлежит одновременно трем плоскостям: α, β, γ₁. Следовательно, она находится на линии пересечения плоскостей α и β. Для того, чтобы определить точку А₂, проведем вторую вспомогательную плоскость γ₂. Точки А₁ и А₂ определяют искомую прямую l.

Пример 5. Определить линию пересечения плоскостей α и β (рис.1.92).

Рис.1.92

Вводим плоскости посредники γ₁||π₁, γ₂||π₂. Эти плоскости пересекут заданные по горизонталям h₁ (h'₁, h"₁) и h₂ (h'₂, h"₂), и фронталям f₁ (f'₁, f"₁) и f₂ (f'₂, f"₂). Находим точки A₁ (A'₁, A"₁) и A₂ (A'₂, A"₂). На чертеже A'₁=h'₁h'₂, A"₂= f"₁f"₂. Две точки определят искомую прямую l (l', l")=(A₁, A₂).

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис.1.93), α=lm, β=kn. Если l||k и m||n, то α||β.

Рис.1.93

Очевидно, что у параллельных плоскостей соответствующие следы параллельны (рис.1.94).

Рис.1.94

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Через точку А провести плоскость, параллельную заданной (рис.1.95).

Рис.1.95

Из чертежа видно, что искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми n и k, одна из которых n||l, вторая k||(1,2).

Пример 2. Через точку А провести плоскость α, параллельную плоскости β (h_0β, f_0β) (рис.1.96).

Рис.1.96

Следы искомой плоскости будут параллельны следам заданной плоскости, т.е. h_0α||h_0β, а f_0α||f_0β.

Для построения следов f_0α и h_0α воспользуемся свойством: если прямая принадлежит плоскости, то ее следы принадлежат одноименным следам плоскости. Через точку А проведем горизонталь h (h', h") искомой плоскости h"||x и h'||h_0β. Найдем фронтальный след 1 (1', 1") горизонтали. Через точку 1 (1', 1") проведем f_0α||f_0β и h_0α||h_0β.