4.3.Задача Кеплера

где ~er единичный вектор, направленный по радиусу. Из формулы (4.22) видно, что знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус отвечает полю притяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обратно пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечного или сферически симметричного заряда. Поэтому полученные в этом параграфе результаты при соответствующем выборе постоянной будут описывать движение в указанных полях.

Уравнение траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). Запишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную равной нулю и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед интегралом соответствует выбору оси 0 в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда интеграл имеет вид

Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем замены x = M=r и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме

где введены две новые постоянные: параметр p и эксцентриситет e. Они равны

Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало полярной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета e. При e > 1 уравнение задает гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки:

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При r ! 1 второе слагаемое в (4.26) обращается в нуль и энергия материальной точки равна ее кинетической энергии

E = mv12 =2. Если E = 0, то эксцентриситет e равен единице и уравнение (4.24) задает параболу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконечность, но скорость ее на бесконечности равна нулю. И наконец, при отрицательной энергии E материальной точки ее эксцентриситет e < 1. Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс. Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то полученные для поля притяжения с U(r) = =r результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы. Так как масса Солнца m намного превышает массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать равной массе планеты. Из закона всемирного тяготения имеем = mm. Выразим измеряемые астрономами величины большую полуось орбиты и период обращения планеты через энергию

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем интегрирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обращения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором материальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для a и b из (4.27), формулу S = ab для площади эллипса и закон площадей (4.11), получим

Подставляя в (4.28) значения a и b из формул (4.27), найдем период обращения:

Для планет Солнечной системы отношение =m приближенно равно m. Поэтому для них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты.

Изложенные результаты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером и носят его имя. Три закона Кеплера формулируются следующим образом.

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.

Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей.

В заключение приведем уравнение траектории для поля отталкивания, когда U(r) = =r. Интегрирование дает результат:

Значения e и p по-прежнему даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой E > 0 и e > 1.

4.4.Рассеяние частиц в центральном поле.

Рассмотрим задачу об отклонении однородного пучка частиц, падающих на центр поля из бесконечности и уходящих на бесконечность после взаимодействия с полем. Такая постановка задачи характерна для экспериментов по рассеянию частиц в ядерной физике и физике элементарных частиц. Несмотря на то, что для описания элементарных частиц необходимо использовать квантовую механику, некоторые аспекты таких опытов можно анализировать с помощью классической механики. Схема опыта по рассеянию частиц приведена на рис. 4.6.

Все частицы потока, падающего на рассеивающий центр, имеют вдали от центра одинаковую скорость v1 и летят по параллельным траекториям. Расстояние от этой траектории до параллельной ей прямой, проходящей через центр поля, называется прицельным расстоянием. Обозначим его через . Введем плотность

' = 0

Здесь берется абсолютное значение производной от по , так как в большинстве случаев эта производная отрицательна. Эффективное сечение рассеяния также выражают через элемент телесного угла d , заключенного между конусами с растворами и + d . В этом случае имеем

Найдем эффективное сечение рассеяния для поля отталкивания с потенциальной энергией U(r) = =r. Это поле описывает взаимодействие одноименных точечных зарядов по закону Кулона. На рис. 4.7 показана траектория заряда, налетающего на неподвижный рассеивающий центр. Уравнением траектории является гипербола, задаваемая формулой (4.30). На оси симметрии гиперболы ' = 0. Введем угол 'o, отсчитываемый от оси симметрии до направления на бесконечно удаленную точку траектории. Значение этого угла можно получить, устремляя r к бесконечности в уравнении гиперболы (4.30), что дает

Из рис. 4.7 находим, что = 2'o. Остается выразить эксцентриситет e через прицельное расстояние , чтобы получить зависимость ( ) и рассчитать эффективное сечение. Для этого запишем выражение для энергии и момента импульса налетающей частицы на бесконечно далеком расстоянии от рассеивающего центра:

49 И.С. Сягло Теоретическая механика

Подставляя полученное значение в формулу (4.36) и учитывая связь 'o и , находим зависимость ( ):

Первым опытом, в котором измерялось рассеяние частиц, был опыт Резерфорда по рассеянию -частиц на ядрах атомов золота. Формула (4.40) дает эффективное сечение рассеяния для этого опыта и поэтому называется формулой Резерфорда.