24. Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:
z=h .
Исследуем поверхность:
А)
если
то
Линия
пересечения поверхности с плоскостями
z=h
не существует.
Б)
если
,
линия
пересечения вырождается в две точки
(0,0,с), и (0,0,-с). Плоскостиz
= c,
z
= - c
касается данной поверхности.
В)
если
,
то уравнения можно переписать в виде:
,
как видно, линия пересечения есть эллипс
с полуосями а1 =
,b1
=
.
При этом, чем меньшеh,
тем больше полуоси. При н=0 они достигают
своих наибольших значений. а1=а, b1=b.
Уравнения примут вид:
h=0.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.
25. Гиперболоид и конус.
1.
Исследуем поверхность
.
Пересекая
поверхность
плоскостью
z=h,
получим линию пересечения, уравнения
которой имеет вид
z=h. или z=h
полуоси:
а1=
b1=
полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>
х=0.
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.
2.
-уравнение
поверхности.
и
- поверхность,
состоящая из 2 полостей, имеющих форму
выпуклых неограниченных чаш. Поверхность
называется двухполостным
гиперболоидом.
3. Конус второй степени
Каноническое
уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
26. Параболоид.
1.
-этоэллиптический
параболоид.
Каноническое уравнение:
(р>0,
q>0).
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.
2.
-гиперболический
параболоид.
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
27. Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.
Эллиптический цилиндр
Эллиптическое
уравнение:
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x2 + y2 = R2. Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.
Уравнение:
определяет в пространствегиперболический
цилиндр.
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.
Предел последовательности.
Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется равенство:
.
В этом случае пишут
и
говорят, что последовательность
{xn}имеет
предел, равный числу а. говорят,что
последовательность сходится к а.
Коротко
определение предела:
.
Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, неимеющая предела, называется расходящейся.
Если
=0
=>последовательность
бесконечно малая.
Если
=
=>бесконечно
большая.
=>
.
-
окрестности
точки а.