Общее уравнение динамики (принцип Лагранжа-Даламбера)

Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.

В соответствии с принципом Даламбера совокупность при­ложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образует уравнове­шенную систему сил.

Если к такой системе применить принцип возможных пе­ремещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики. Формулировка этого принципа.

При движении несвободной механической системы с дву­сторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точ­кам системы активных сил и сил инерции на любом воз­можном перемещении системы равна нулю:

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода - это дифференциаль­ные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для системы с S степенями свободы эти уравнения имеют вид

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обоб­щенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем. Циклические координаты и интегралы

Для консервативной системы обобщенные силы определя­ются через потенциальную энергию системы по формуле

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

Так как потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т. е. , тоС учетом этого представим в виде, гдеТ - П = L — функция Лагранжа (кинетический потенциал). Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

Устойчивость положения равновесия механической системы

Вопрос об устойчивости положения равновесия механиче­ских систем имеет непосредственное значение в теории коле­бания систем.

Положение равновесия может быть устойчивым, неустой­чивым и безразличным.

Устойчивое положение равновесия - положение равнове­сия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения, в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью по­вторяемости во времени, т. е. система будет совершать колеба­тельное движение .

Неустойчивое положение равновесия - положение равно­весия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Безразличное положение равновесия — положение равнове­сия, когда при любом малом начальном отклонении точек сис­темы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии..

Для определения устойчивого положения равновесия меха­нической системы существуют различные методы.

Рассмотрим определение устойчивого положения равнове­сия на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механиче­ской системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.