∫(2x + 7)sin xdx =

u = 2x + 7,

′

du = (2x + 7) dx = 2dx

=

dv = sin xdx,

v = ∫sin xdx = −cos x

Пример 2.

3dx

ln(3x −6)dx =

u = ln(3x −6),

du =

= xln(3x

−6) −

3x

dx =

3x −6

∫

∫3x −6

dv = dx,

v = x

−∫(1 +

2

)dx =xln(3x −

6) −

∫

x

dx = xln(3x −6)

− ∫(x − 2) + 2 dx =

x − 2

x − 2

x − 2

∫

2

∫

d

(x − 2)

= xln(3x −6)

−

1

+

dx

= xln(3x −6)

− x − 2

= xln(3x −6)

−

x

− 2

x − 2

n

σn = ∑ f (ξi ) xi , где xi = xi

− xi−1.

i=1

Определение.

Определенным интегралом функции f (x) в

пределах от

x = a

до x = b

называется

предел

интегральной

суммы

b

n

lim σn = lim ∑ f (ξi )

xi = ∫ f (x)dx

u

max

xi → 0.

n→∞

n→∞ i=1

a

Основные свойства определенного интеграла

b

a

1.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx,

a

b

a

2.∫ f (x)dx = 0,

a

b

c

b

3.∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx,

a

a

c

b

b

b

4.∫( f1(x) ± f2 (x))dx =∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx,

a

a

a

b

b

5.∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx, c = const.

a

a

( f (x) ≤ 0)

отрезке [a,b],

6.

Если

f (x) ≥ 0

на

то

b

b

∫ f (x)dx ≥ 0 (∫ f (x)dx ≤ 0).

a

a

b

b

7. Если f (x) ≥ϕ(x) x [a,b]

a < b, то ∫ f (x)dx ≥ ∫ϕ(x)dx.

a

a

8. Если подынтегральная функция интегрируема на отрезке

[a,b] и для этого отрезка справедливо неравенство m ≤ f (x) ≤ M ,

b

то m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) ,

где

m и

M -

наименьшее

и

a

f (x)

отрезке [a,b],

наибольшее

значения

функции

на

x

10. Если f (x) непрерывна и

Φ(x) = ∫ f (t)dt,

то справедливо

′

a

то есть

производная

определенного

равенство Φ (x) = f (x),

f (x) ≥ 0

x [a,b], то определенный интеграл вычисляет площадь

криволинейной

трапеции,

ограниченной

линиями

y = f (x),

y = 0, x = a, x = b. И эта площадь равна

b

S = ∫ f (x)dx .

a

Правила вычисления определенного интеграла.

1. Формула Ньютона - Лейбница. Если f (x) непрерывна на

отрезке [a,b] и F(x) - какая - либо первообразная функции

f (x)

на этом отрезке, то справедлива формула

b

∫ f (x)dx = F(x)

ba = F(b) − F(a)

- формула

Ньютона

–

a

Лейбница.

2.Замена переменной в определенном интеграле. Пусть

функция

f (x) непрерывна на отрезке [a,b], функция

x =ϕ(t)

дифференцируема

на отрезке

[α, β], причем

для

любого

t [α, β] : ϕ(t) [a,b], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, то

b

β

a

α

2

2

2

e2

ln x

1

3x

8

1.∫

2x

+

dx,

2. ∫

dx,

3.∫e

dx,

4.∫x x +1dx,

x

4

x

1

1

0

3

π

2

3

dx

5.∫xsin xdx,

6. ∫

.

x2 + 4

0

2

Вариант 1.

1.∫(3x2 − 56 )dx, 2.∫

dx

, 3. y2 =1 − x, x = −3.

2

e

1

x

1 x

1 −ln2 x

Вариант 2.

1.∫(4

x + 6x2 )dx,

2.∫(x +1) cos xdx, 3. y = 6x − x2 , y = 0.

9

π

4

0

Вариант 3.

1.∫

dx

,

2.∫(x + 2)sin x dx,

3. y =3 −2x − x2 , y = 0.

16

π

0

x +9

0

2

Вариант 4.

π

1

1

3

dx

2

2

2

1.∫

3x

(1

+

)dx,

2 ∫

,

3. y = x

, y

= 2 − x

.

6x5

sin2 x

0

π

4

Примеры.

Решение типового варианта.

1. Вычислить определенные интегралы.

8

8

1

4

a) ∫( 3 x −1)dx = ∫

(x3 −1)dx = ( 3 x3 − x)

18 = (

3 24 −8) −( 3 −1) =

1

1

4

4

4