21. Постановка задачи оптимального управления и критерии оптимальности.

Постановка задачи.

Необходимо найти алгоритм управления электромеханической системой описываемой дифференциальными уравнениями:

переводящий ее из начального состояния х₀ в конечное состояние х_к при минимизации критерия оптимальности и выполнении ограничений, накла­дываемых на систему:

Кроме того, могут быть дополнительные ограничения на производ­ную по току якорной цепи и момент упругого взаимодействия масс.

Критерии оптимальности могут быть различны: максимум быстро­действия, производительности; минимум нагрева, расхода энергии или топлива; максимум надежности; наилучшее качество и др. Всему ком­плексу этих требований, или комплексному критерию оптимальности, не может отвечать ни одна система, так как, во-первых, критерии взаимно исключают друг друга, во-вторых, если даже удастся вычислить ритм управления по этому комплексному критерию, то его технически невозможно будет реализовать.

Наиболее часто пользуются критериями оптимальности в виде ми­нимизации функционалов:

Критерий максимального быстродействия.

Если функция =1, то критерий оптимальности в виде минимизации функционала

является критерием максимального быстродействия. Он означает, что система переводится из начального положения х₀ в конечное положение х_к за минимально возможное время.

На базе этого критерия построены многие системы: оптимальные по быстродействию приводы прокатных станов, металлорежущих станков, механизмов передвижения. Данная теория широко освещается в литературе и результаты ее могут быть применены к другим критериям.

Недостаток этого критерия: система, оптимальная по быстродействию, будет давать отличные результаты только при управляющем воздействии.

Критерий качества переходного процесса

Обозначим за х отклонение выходной координаты от установившегося значения. Алгоритм управления должен быть построен таким обра­зом, чтобы площадь под кривой х² была минимальной. Для уменьшения колебательности необходимо минимизировать квадратичные отклонения от производной выходной координаты.

Критерий качества переходного процесса

Физический смысл: алгоритм управления должен быть таким, чтобы запрещались не только квадратичные отклонения выходной величины, но и ее производной. В результате переходный процесс будет наименее воз­можно колебательным. При минимизации этого критерия работают сис­темы подчиненного регулирования.

Недостатком критерия является ограниченность его применения только при управляющем воздействии (пуско-тормозные режимы и ре­жим реверса).

Критерий аналитического конструирования регулятора.

В общем виде критерий оптимальности

Физический смысл: алгоритм управления должен быть построен та­ким образом, чтобы обеспечивался минимум квадратичных отклонений всех координат при минимальном расходе энергии управления.

Этот критерий наиболее подходит для решения космических задач, где необходимо свести к минимуму отклонение всех координат: притя­жение земли, лоитяжение со стороны других планет и т.д. - при мини­мальном расходе топлива.

Для электромеханических систем этот критерий не совсем подходит, так как при управляющем воздействии (пуск, реверс, торможение) необходимо, чтобы минимальным было квадратичное отклонение скорости, причем требование одновременно минимального отклонения тока не только ке нужно, но и вредно.

Следовательно, по управляющему воздействию необходим такой алгоритм управления, который минимизировал бы функционал

При возмущающем воздействии необходим такой алгоритм управления, который минимизировал бы функционал

При возмущающем воздействии необходимо, чтобы алгоритм управления был таким, при котором квадратичные отклонения усилия были минимальны, причем практически безразлично, как будет вести себя скорость. Это особенно важно, например, для электромеханических систем, где режимы стопорения являются рабочими. Желательно исполь­зовать устройство, которое осуществляет, переключение с алгоритма, построенного по критерию J₄, на алгоритм, построенный по критерию J₅.

Ценность критерия аналитического регулирования регуляторов за­ключается в том, что алгоритм управления получается в виде линейной функции от координат системы. Алгоритм управления определяется на основании математических методов оптимального управления. Система управления называется оптимальной в смысле выбранного критерия оп­тимальности, например, оптимальная по быстродействию система.