1.15. Наибольшее и наименьшее значения функции

Литература: [3], гл. V, §§ 6, 7

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.7

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции на замкнутом промежутке [a, b] достигается или в точках экстремума, или на концах этого промежутка. Для определения наибольшего (наименьшего) значения нужно вычислить значение функции во всех критических точках, принадлежащих промежутку [a, b], значение функции на концах промежутка и взять наибольшее (наименьшее) из них.

Замечание. Если внутри некоторого промежутка непрерывная функция имеет только одну точку экстремума и это точка максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на промежутке.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

Решение. Найдём производную: .

Одна критическая точка ─ x₁ = 0 (в ней производная не существует). Остальные критические точки находятся из равенства: , откудаx₂ = 1 и x₃ = −1. Точка x₃ = −1 не принадлежит промежутку и из дальнейшего рассмотрения исключается.

Вычисляем значения функции в точках x₁, x₂ и на концах промежутка: .

Из полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее: и.

Пример 2. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Решение. Обозначим сторону основания через х, а высоту – через у. Тогда объём бассейна , а облицовываемая поверхность. Выразим из значениеу через х: . Подставляя это значениеу в выражение для S, получим .

Исходя из условия задачи и вида функции S = S(х), эта функция имеет смысл при х > 0, т.е. в промежутке (0, +∞). Исследуем функцию на минимум в этом промежутке.

.

Для исследования полученной критической точки на экстремум вычислим в ней вторую производную:

.

Так как вторая производная в критической точке положительна, то функция S(х) имеет в ней минимум, а так как на промежутке (0, +∞) это единственный экстремум, то это и наименьшее значение.

Итак, при стороне основания и высотеплощадь облицовкиS будет наименьшей.

1.16. Применение производной для вычисления пределов (правило Лопиталя)

Литература: [5], Ч.1, гл. 5, § 5.5

Теорема Лопиталя. Если функции y = f (x) и y = φ (x) дифференцируемы в окрестности точки x = x₀ и непрерывны в самой точке x₀, обе стремятся к нулю (или к ±∞) при x → x₀, и существует , топредел отношения функций f (x) и φ (x) при x → x₀ равен пределу отношения их производных при x → x₀, т.е.

.

Заметим, что теорема (правило) Лопиталя справедлива и при x → ±∞.

Из теоремы Лопиталя следует, что она применяется в случае, когда предел отношения двух функций представляет собой неопределённость вида или. Заметим также, что если предел частноготак же даёт неопределённость указанного вида и функциииудовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 1. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю при x → 0. Это означает, что можно применить правило Лопиталя:

.

Замечание 1. Для раскрытия неопределённостей вида илиих нужно привести к видуили, а затем применять правило Лопиталя.

Замечание 2. В случае неопределённостей вида ,илицелесообразно предварительно прологарифмировать заданное выражение.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем её к видуи применим правило Лопиталя:

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеем неопределённость вида . Пусть. Тогда

.

Итак, . Следовательно,.

Замечание 3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

Пример 4. Вычислить .

Решение.

.