Відношення між видами модальних суджень

Протиріччя	Протилежність	Підпротилежність	Підпорядкування
р ◊¬р	р ¬р	◊р ◊¬р	р р
¬р ◊р	р ¬р	◊р ¬р	р ◊р
р ¬р	¬р р	◊¬р р	р ◊р
			¬р ¬р
			¬р ◊¬р
			¬р ◊¬р

4. Логічні дії над судженнями. Можливі наступні логічні дії над судженнями: заперечення, перетворення, обернення і протиставлення (предикату і суб'єкту).

Заперечення – це перехід до судження, контрадикторного вихідному.

Заперечення припускає одночасну зміну якості і кількості судження. Заперечення розрізняють у широкому розумінні та у вузькому розумінні.

Заперечення в широкому розумінні – це заперечення судження в цілому в результаті зміни його істиннісної характеристики і якості за допомогою використання словосполучення «невірно, що».

Так, судження «Капіталіста цікавить надлишок вартості продукту відносно вартості спожитого в процесі його виробництва капіталу» можна заперечувати у формі «Невірно, що капіталіста цікавить…». Тут змінюється істиннісна характеристика вихідного судження на протилежну: якщо вихідне судження істинне, то отримане – неістинне, і навпаки, якщо вихідне судження неістинне, то похідне – істинне. Змінюється і якість судження: якщо вихідне судження стверджувальне, то його заперечення веде до утворення негативного судження, і навпаки...

Заперечення за допомогою словосполучення «невірно, що» відноситься тільки до зв'язки (або відношенню), зберігаючи кількісні характеристики суб'єкта (у категоричних атрибутивних і екзистенціальних судженнях) і членів відношення (в релятивних судженнях), може, зберігаючи якість (зв'язку), змінювати кількість суб'єкта (у категоричних атрибутивних і екзистенціальних судженнях), одного з усіх членів судження (в релятивних судженнях), нарешті, може змінювати і зв'язку, і кількість термінів одночасно.

У логіці під операцією заперечення, як правило, розуміють утворення з вихідного судження саме контрадикторного судження, оскільки при цьому враховується і якість, і кількість, і модальність (для модальних суджень) – усі суттєві характеристики судження.

У простих категоричних судженнях заперечення судження А утворює судження О, і відповідно О – А, Е – I, I – Е (відношення контрадикторності в логічному квадраті). Для модальних суджень заперечення судження р утворює ◊¬р, ◊¬р – р, ¬р – ◊р, ◊р – ¬р, р – ¬р, ¬р – р (відношення контрадикторності в логічному шестикутнику). Складні судження заперечуються за формулами еквівалентності складних суджень: заперечення: кон'юнкції: ¬(рр)≡¬р¬q, слабкої диз'юнкції: ¬(рр)≡¬р¬q, сильної диз'юнкції: ¬(рр)≡ ≡(¬р¬q), імплікації: ¬(р→р)≡р¬q.

Перетворення – це логічна операція, в результаті якої з вихідного судження утворюють нове рівнозначне судження, але протилежної якості: стверджувальне судження перетворюється на заперечувальне, а заперечувальне – в стверджувальне.