IDZ_VysshMatematTerehov

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 17

1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; 1) , B ( − 2; 3 ) и C ( 0; 2 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( − 2; 3) , прямая линия l : 6x − y + 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − y − 3 = 0 и l2 : x − y − 5 = 0 , причем одной из них в точ-

ке A( 4; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 4 x 2 + 8 y 2 = 64 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 + 6 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 8x2 + 3y2 = 24 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 6x2 − 4 y2 = 12 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 2 y 2 = 8 . Написать уравнение директрисы.

130

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 18

1.Даны вершины некоторого треугольника A(3; − 3) , B( − 2; 1) и C ( 2; 0 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 3; − 3) , прямая линия l : x − 2 y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − 2 y − 1 = 0 и l2 : x − 2 y + 9 = 0 , причем одной из них в точке A( 3; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4 x 2 + 6 y 2 = 24 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 + 4 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 4 y2 = 12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 6x2 − 5 y2 = 60 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4 y2 = 16 . Написать уравнение директрисы.

131

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 19

1.Даны вершины некоторого треугольника A(2; −1), B ( 3; 2 ) и C ( − 1; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 3; 2 ) , прямая линия l : 2x − 5y + 1 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x − 5y − 1 = 0 и l2 : 2x − 5 y − 2 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 0) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l2 : 9 x 2 + 2 y 2 = 18 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 2x + y2 − 2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 9 y2 = 18 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 − 7 y2 = 21 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9 x 2 + 4 y 2 = 36 . Написать уравнение директрисы.

132

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 20

1.Даны вершины некоторого треугольника A(−1; 4), B( 0; −1) и C ( 2; 1 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( − 1; 4) , прямая линия l : 5x − 2 y + 3 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 5x − 2 y + 2 = 0 и l2 : 5x − 2 y − 3 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; 1) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l 2 : 6 x 2 + 5 y 2 = 30 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 − 6 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 6 y2 = 30 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 − 5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 8 x 2 + 4 y 2 = 32 . Написать уравнение директрисы.

133

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 21

1.Даны вершины некоторого треугольника A(− 2; − 3) , B( 3; 0 ) и C (1; 2 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( − 2; − 3) , прямая линия l : 2x + 4 y − 1 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x − 4 y + 7 = 0 и l2 : x − 2 y + 4 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 3) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l2 : 6 x 2 + 7 y 2 = 42 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 10x + y2 − 8y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 3y2 = 36 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 − 6 y2 = 54 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 5 y 2 = 40 . Написать уравнение директрисы.

134

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 22

1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; −1), B( − 2; 3) и C ( 0; 4 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( − 2; 3 ) , прямая линия l : x + 4 y − 1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − 4 y + 1 = 0 и l2 : x − 4 y + 2 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 5 x 2 + 6 y 2 = 30 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 8x + y2 + 2 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 + 8y2 = 32 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 8x2 − 4 y2 = 16 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 7 y 2 = 28 . Написать уравнение директрисы.

135

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 23

1.Даны вершины некоторого треугольника A(2; − 3) , B(1; 4 ) и C ( − 1; 2 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 3; 1 ) , прямая линия l : 2x + 4 y − 5 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − 3y + 2 = 0 и l2 : x + 3y − 7 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 2 ) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 4 x 2 + 2 y 2 = 8 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 8x + y2 − 2y +1= 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 4 y2 = 12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 − 4 y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 7 x 2 + 2 y 2 = 14 . Написать уравнение директрисы.

136

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 24

1.Даны вершины некоторого треугольника A( 4; 1) , B ( 2; 3 ) и C( −1; − 3 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 2; 1 ) , прямая линия l : 2x + 3y + 1 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x + 3y + 8 = 0 и l2 : 2x + 3y − 8 = 0 , причем одной из них в точке A( − 1; − 2 ) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l 2 : 4 x 2 + 3 y 2 = 48 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 +10x + y2 − 2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 6 y2 = 24 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 − 5 y2 = 15 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 8 y 2 = 16 . Написать уравнение директрисы.

137

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 25

1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; 5) , B ( − 1; 1 ) и C( 3; 4 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 3; 5) , прямая линия l : x − y − 6 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x + y + 2 = 0 и l2 : x + y − 5 = 0 , причем одной из них в точке

A( − 1; − 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :16 x 2 + 9 y 2 = 144 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 − 4y = 0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 + 25y2 = 100 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 − 4 y2 = 36 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4 y2 = 16 . Написать уравнение директрисы.

138

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IV. Аналитическая геометрия в пространстве

Вариант 1

Даны четыре точки A ( 0; 1; 2 ), B( − 1; 0; 1 ) , C (1; − 1; − 1 ) и D ( 2; 0; 1 ) :

1. Составить уравнение плоскости, проходящей:

г) через точки A , B и C ;

д) через точку D параллельно плоскости, проходящей через т. A , B и C ;

е) через точки C и D перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки A , B и C .

2.Вычислить расстояние от точки D до плоскости, проходящей через т. A , B и C .

3.Найти угол между плоскостями, проходящими через т. A , B ,C и

B ,C , D .

4.Составить канонические и параметрические уравнения прямых

линий, проходящих через точки A , B и точки C , D .

5.Если прямые AB и CD пересекаются, то найти координаты точки пересечения.

6.Определить расстояние от точки D до прямой AB .

7.Найти точку пересечения с плоскостью ABC прямой линии, которая проходит через точку D перпендикулярно к этой плоскости.

8.Определить угол между прямой AB и плоскостью, которая про-

ходит через точки B ,C , D .

9.Найти точку D1 симметричную к точке D относительно прямой

AB .

139