Решите самостоятельно следующие задачи:

1. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле

2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой

Задание №24 Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

Тройным интегралом от функции по областиƯназывается предел интегральной суммы при условии, что, гдеd - диаметр частичной области разбиения

Для непрерывной в области Uфункции этот предел существует и не зависит от способа разбиения областиUна элементарные и от выбора точекР_к(теорема о существовании тройного интеграла).

Если в областиU, то тройной интегралфизически есть масса тела, занимающего областьUи имеющего переменную плотность

В частности, если , то тройной интеграл определяет объем областиU, т.е.

dU– элемент объёма.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

Вычисление тройного интеграла

Пусть область интегрирования Uопределяется неравенствами:

Где y₁(x), y₂(x), z₁( x, y), z₂(x, y)– непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функциипо областиUвычисляется по формуле:

Интеграл, стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной.

Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями

z=0, z=4-y², x²=2y.

Решение:Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностьюz=4-y²с образующими, параллельными осиОХ, снизу плоскостьюz=0(координатная плоскостьХОУ).

Эти поверхности

пересекаются по

прямым:

у = -2иу = +2

Тело Uограничено также цилиндрической поверхностьюx²=2yс образующими, параллельными осиOZ

Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область ДплоскостиХОУ

Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х иУрасставятся в соответствии с областьюД(как в двух кратном интеграле), а пределами интегрирования поZбудут:

Получим

Ответ:

Ответы и указания

1. Перенести свободный член направо и разделить обе части уравнения на него

2. Использовать направляющий вектор прямой в качестве нормального вектора плоскости x-3y+4z+9=0

2.1Воспользуйтесь уравнением с угловым коэффициентом. Прямые перпендикулярны.

2.2Найдите координаты точки пересеченияA данных сторон; зная координаты точекA и N,найдите координаты противоположной вершины параллелограмма по формуле определения координат середины отрезка; через найденную точкуCпроведите прямую, параллельнуюAD, а потом прямую, параллельнуюAB.

(BC) 2x+y-5=0

(CD) x+2y-11=0

3.1Соберите члены уравнения, содержащие одну и ту же переменную величину в скобки. В каждой скобке выделите полный квадрат.

Эллипс с полуосями

3.2Для гиперболы; найти a и b, подставить в уравнение

4.1

5.1

6.1Ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы системысистема несовместима

7.1

9.1.

9.2

10.1Произведите вычитание дробей. Ответ:

10.2До множьте на иррационально сопряженное выражение. Ответ:

10.3Преобразуйте выражение черезsin x иcosx Ответ: (0).

10.4Учтите, что

11.1 Найдите левосторонний и правосторонний пределы. Точкаx=1 точка разрыва первого рода.

11.2Разрыв устранимый.

12.1Сложная функция

12.2Сложная функция

12.3(производная дроби).

12.4Воспользуйтесь логарифмом дроби

12.5

13.1Неопределенность вида

Применив 1 раз правило Лопиталя, получим неопределенность вида Преобразуем дробь и применим правило Лопиталя ещё раз. Получим ответ

13.2Неопределённость вида

Два раза применим правило Лопиталя. Ответ:

13.3Неопределённость вида

Преобразуем

Получим неопределённость вида Применяем правило Лопиталя, преобразуем результат в единую дробь иещёраз применяем правило Лопиталя. Ответ:

14.1Функция возрастает в двух бесконечных интервалахифункция убывет на.

14.2

т.к. производная конечна всюду, критическими точками являются только . Рассмотрим интервалы,,,. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной. Первая производная имеет в этих интервалах такую последовательность знаков:.

При минимум

при максимум

при минимум

Отрезок содержит внутри себя все критические точки. Так как значения в критических точках мы уже вычислили осталось вычислить значения на концах отрезка,. Сравнив, видим, что наибольшим является, а наименьшим.

14.3Для определения горизонтальных асимптот находим,и. Значит, горизонтальная асимптота одна(ось).

Для определения вертикальных асимптот находим те значения , вблизи которыхнеограниченно возрастает по абсолютной величине:,. Это и есть вертикальные асимптоты.

14.4Т.к., то горизонтальных асимптот нет, т.к.неограниченно возрастает, когдапри.

Таким образом, имеется вертикальная асимптота, ее уравнение .

При этом приипри

Определим наклонные асимптоты , где,

Итак, уравнение наклонной асимптоты

14.5.Область определения: вся числовая ось, кроме. Функция непрерывна всюду, кроме, следовательно, имеется вертикальная асимптота:. Горизонтальных асимптот нет:.

Наклонные асимптоты: ,

Значит, наклонная асимптота одна:

Критические точки: ,,,,(не входит в область определения)

(Не рассматривается, т.к. не входит в область определения) На интервалахивыпуклость вверх. На интервалевыпуклость внизт.- точка перегиба.

15.1.Примените формулу интегрирование суммы, вынесения числового множителя за знак интеграла и интегрирование степенной функции.

Ответ:

15.2Замена переменных;

под интегральное выражение

Ответ:

15.3Ответ:

15.4

Надо применить формулу:

Ответ:

15.5

Применим формулу из таблицы с учётом, что

Ответ:

16.1Сделайте подстановкуОпределите новые пределы интегрирования

При изменении от 0 дофункциямонотонно возрастает, и её значения заполняют первоначальный отрезок интегрирования

16.2Учтите, что значение функциинаходятся на интервале

Ответ:

16.3Ответ:

16.4Подынтегральную функцию представьте в виде

. Далее легко интегрируется.

Ответ:

16.5

Применена формула интегрирования по частям.

17.1.

При предел существует и равен;

при интеграл расходится.

17.2Задача сводится к17.1подстановкой. Ответ: интеграл сходится прии расходится.

17.3

17.4Замена переменных. Особенность в точке. Ответ:

17.5имеет особенность в точке

(проинтегрировали по частям)

Но (по правилу Лопиталя)

Ответ:

18.1Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками

; значит

Итак, , значит.

Взяв значения функций в точках деления до третьего знака, получим точность числа до второго знака.

19.1u- функция двух переменныххиy. Находим, рассматриваякак постоянную:, так как производная поотравна нулю, как производная константы

19.2- функция трёх независимых переменных. При определении частной производной по каждой из этих переменных, две другие следует считать величинами постоянными.

19.3, так как, а.

19.4

19.5

Эти производные вычислены по правилу производных сложной функции; внешняя функция-экспонента, затем , а затем дробь.

20.1.

=.

20.2

21.1Стационарные точки:

x=-2, y=-1, следовательно, есть одна стационарная

точка (-2, -1)

Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка осии отрезка АВ прямой

а) На оси, значит. Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке. Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности

.

Определим значение функции при и на концах отрезка [-5,0]

б) На осизначит

в) Исследуем функциюzна отрезкеAB. Уравнение АВ, значит

Сравним теперь значение zв стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке, а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

21.2Стационарные точкинаходятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке, а. Наименьшего значения функция достигает в точке, а.

21.3Обозначим стороны треугольникаи. По формуле Герона площадь треугольника, так как- полупериметр, тоистановится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции, будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки. Исследованию подлежит только одна точка, так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи (не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

Проверяем точку М в ней функция достигает максимума. Итак, при

Так как , то треугольник равносторонний.

22.1

22.2Градиент функцииZи производная по направлениюaсвязаны формулой- то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

В нашем случае

23.1Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

Точки пересечения и. Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по, а внутренний по. Заметим, что в пределах измененияот -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на двеи. Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Областьограничена сверху и снизу ветвями параболыи, а областьснизу ограничена ветвью параболы, а сверху прямой(при).

23.2По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительнои относительно. Биссектрисы координатных угловитакже являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При,получим две точки пересечения с осьюи.

Аналогично при получим,. Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x,yк полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениямиx= ρcosφ,y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования Dограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ=α,φ=β (α<β) и двумя кривымиρ=ρ₁(φ) иρ=ρ₂(φ), гдеρ₁(φ)≤ρ₂(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, гдеF(ρ,φ)=f(ρcosφ,ρsinφ), причем сначала вычисляется интеграл, в котором φ считается постоянным.

Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ,y= ρsinφ.

Получим

- уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.