Логіка - Тофтул

Правило введення імплікації (ВІ): А В-+А

Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.

Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації: Г, АУ-В Г\-(А->В) '

Читається це правило так: «Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.

Правило усунення імплікації (УІ): А-+ВА->В АВ~

1.(Modus ponens); 2. —=—(Modus tollens).

Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента — переходити до заперечення антецедента.

Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А АВ '

Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А—>В і В—> —>А з цих даних можна вивести еквіваленцію АВ, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.

Наприклад:

Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б). Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторонній (В—>А).

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (АВ). Правило усунення еквіваленції (УЕ):

1 АВ А. В. А . В . ВАВ~А

Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: іі; х--х.

Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: «...в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни). Знак «=», що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності). Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками» [15].

Поняття «рівносильність» (=) тотожне поняттю «еквівалентність» (В.

2.CvA. 3.B->D. 4.CAD,

то немає потреби вдаватися до припущення, оскільки четвертий засновок містить пряму інформацію про С і D.

5.Q (усунення кон'юнкції: 4); 6.j=) (усунення кон'юнкції: 4);

7.А (усунення нестрогої диз'юнкції: 2; 5); 8.В (усунення імплікації: 3; 6); 9.В (усунення імплікації: 1; 7);

10.CADAAABAB (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9). 11.CADAAABAB (усунення подвійного заперечен ня — УПЗ).

12.CADAAAB (згідно із законом ідемпотентності). А якщо без припущення не можна обійтися, то яку

ж змінну треба вибирати як припущення? Ту, з якої можна вивести якомога більше наслідків. Так, маючи засновки

1.С-*А.

2.В->С-

41

3.AvB,

з яких потрібно зробити висновки, ми змушені брати за припущення С, оскільки саме воно дає можливість вивести найбільше висновків. Інші припущення тут неефективні: припущення В дає можливість одержати лише один висновок —С , а припущення А — жодного:

4.С (припущення).

5.А (усунення імплікації: 1; 5).

6.S (усунення імплікації: 2; 5).

7.А (усунення нестрогої диз'юнкції: 3; 6).

Щоб застосувати теорію логічного виводу у розв'язанні практичних задач, потрібно послідовно здійснити кілька операцій. Наприклад, у нас є такі дані:

Коло підозрюваних у скоєнні злочину обмежується чотирма особами: Івановим, Петровим, Сидоровим, Федотовим.

1.Іванов міг брати участь у скоєнні злочину тоді і тільки тоді, коли до цього злочину причетний і Петров.

2.Якщо до цього злочину не причетний Сидоров, то в ньому брав участь Федотов.

3.Відомо, що один і тільки один із підозрюваних Іванов або Сидоров — причетні до цього злочину. 4.Федотов довів своє алібі.

Насамперед потрібно виділити прості судження з цього тексту і позначити їх пропозиційними змінними. Ось ці судження:

1.Іванов брав участь у скоєнні злочину (А). 2.Петров брав участь у скоєнні злочину (В). 3.Сидоров брав участь у скоєнні злочину (С).

4.Федотов брав участь у скоєнні злочину (>). Після цього слід виділити логічні зв'язки, які є в цьому тексті (і відповідно їх розставити): , у.

Поєднавши пропозиційні змінні (А, В, С, D) відповідними логічними термінами (зв'язками), одержимо такі висловлювання:

1.АВ.

2.С->».

3.АуС;

4.D

Оскільки в нас є пряма інформація про алібі Федотова — D, то немає потреби вдаватися до припущення. Далі вивід будуємо так:

5.С (усунення імплікації: 2; 4).

6.А (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5). 7.В (усунення еквіваленції: 1; 6).

8.БлСлАлВ (введення кон'юнкції: 4; 5; 6; 7). Залишається лише зробити переклад одержаного висновку на природну мову: «Ні Федотов, ні Іванов, ні Петров не причетні до скоєння злочину. Злочин скоїв Сидоров».

Проблема розв'язання і розв'язуючі процедури Оскільки висновок виводу (останнє у відповідній послідовності, вивідне висловлювання) не завжди з

необхідністю випливає із засновків, то доводиться вдаватися до різних процедур, щоб довести, що логічне слідування справді має місце в тому чи іншому виводі. Так, щоб довести, що проголошена нами формула В (теза) є справді істинною, треба підібрати такі фор-мули-аргументи А1лА2л...лАп, з яких за відповідною процедурою можна вивести формулу, що збігається з проголошеною (з тезою), проте на відміну від останньої є достовірною.

Для позначення логічного слідування в логіці застосовують знак «І— » (або« f=»). Вираз «А\—В» читається так: «з А логічно випливає В».

Із формули А випливає формула В тоді, коли імплікація «А—їВ» є законом логіки («завжди істинною» формулою). Ось чому (і не тільки тому) знаходження процедури, що дає змогу визначити, до якого класу формул логіки висловлювань («завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних) належить будь-яка формула, є винятково важливою проблемою логіки висловлювань.

Побудова відповідних таблиць істинності є ефективною лише за умови, коли до розглядуваних формул входить невелике число змінних. В іншому разі вона буде громіздкою, оскільки кількість рядків у таблиці стрімко зростає із збільшенням числа змінних, які входять до формули. Так, якщо формула містить три пропозиційні змінні, то рядків у таблиці буде 8, чотири — 16, п'ять — 32, десять — 1024. До того ж існують інші, менш громіздкі, зручніші процедури, з допомогою яких розв'язуються ці задачі. Йдеться про зведення формул до нормальної форми.

Нормальні форми формул логіки висловлювань

42

Формула логіки висловлювань має нормальну форму, якщо вона, по-перше, не містить у собі знаків -», , у, а по-друге, знаки заперечення стоять у ній лише при змінних.

Будь-яку формулу, що не має нормальної форми, можна скінченним числом застосувань правил заміни перетворити у формулу, яка має нормальну форму. Ця процедура називається процесом зведення формули до нормальної форми.

Щоб звести формулу до нормальної форми, необхідно зробити в ній такі рівносильні заміни: 1) кожну підформулу типу (А—>В) замінити згідно з рівносильністю 13 формулою (AvB); 2)кожну підформулу типу (АВ) замінити згідно з рівносильністю 16 формулою (AVB)A(BVA);

3)кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 17 формулою (АУВ)Л(АУВ); 4)кожну підформулу типу (АлВ) замінити згідно з рівносильністю 10 формулою (AvB);

5)кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 11 формулою (АлВ); 6)кожну підформулу типуіГ замінити згідно з рівносильністю 1 формулою А.

Якщо ж перелічені процедури не можна застосувати до формули, то вона вже має нормальну форму. Наприклад, дано формулу (pq), яку треба звести до нормальної форми. Згідно з рівносильністю 16 одержимо формулу(p~vq)л(qvp). 3 цієї формули згідно з рівносильністю 10 одержимо формулу(pvq)v(qvp), де підформулі (pvq) відповідає підформула рівносильності А , виражена засобами метамови, а підформулі (FVQ) — В. Вдавшись до рівносильності 11 і застосувавши її до кожного з диз'юнктів одержаної формули, дістанемо формулу (pAq~)v(c[Ap). І нарешті згідно з рівносильністю 1 одержимо формулу (pAq)v(q~Xp).

До нормальних форм формул логіки висловлювань належать передусім кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) і диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ). Причому кожна з них має свій специфічний спосіб утворення (зведення) і дає змогу розв'язувати відповідні задачі.

Проблема розв'язання Є три класи формул логіки висловлювань («завжди істинні», «завжди хибні» і невизначені, або

виконувані). Завдання, що полягає у відшуканні процедури, котра дає змогу визначити, до якого з перелічених класів належить будь-яка формула, називається семантичною проблемою розв'язання для формул логіки висловлювань. А процедура, що дає змогу скінченним числом простих дій вирішувати проблему розв'язання, називається розв'язуючою процедурою.

Для того щоб одержати розв'язуючу процедуру, достатньо знайти спосіб відрізняти «завжди істинні» Формули від усіх інших. Якщо в результаті застосування такої процедури до формули А виявиться, що вона «завжди істинна», то проблема розв'язання вирішена. Коли ж ця формула виявиться не «завжди істинною», то цю процедуру треба застосувати до фор-мулиА Якщо буде встановлено, що ця формула є «завжди істинною», то звідси випливає висновок: формула А є «завжди хибною». Коли ж буде встановлено, що і формула А не є «завжди істинною», то це свідчить, що формула А є виконуваною, тобто при одних логічних значеннях змінних вона є істинною, а при інших — хибною.

Існує формальна процедура, з допомогою якої, не вдаючись до побудови відповідних таблиць істинності, можна визначати, до якого класу належить будь-яка формула логіки висловлювань — до «завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних.

Пропозиційна змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, регулярно, якщо вона (змінна) входить до складу цієї форми одночасно як із запереченням, так і без заперечення. Якщо ж змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, тільки із запереченням або тільки без заперечення, то вона входить до складу формули нерегулярно.

Розв'язуюча процедура передбачає такі дії: 1)зведення формули до нормальної форми;

2)у зведеній до нормальної форми формулі виділення змінних, які входять до неї нерегулярно; 3)замість усіх змінних і заперечень змінних, які входять до формули нерегулярно, слід підставити на всіх місцях, де вони трапляються в нормальній формі, букву х (тобто логічне значення «хиба»); 4)застосування правил заміни згідно з рівносиль-ностями 48, 48', 50 і 50' до всіх підформул одержуваної формули, доки є приводи для його застосування. В результаті такої процедури довжина формули буде скорочуватись, і можуть з'явитися нові змінні, що нерегулярно входять до формули. З ними чинять

аналогічно, тобто згідно з пунктами 3 і 4. Передбачувані в пунктах 2—4 перетворення слід повторювати, доки не одержимо формулу, яка не містить у собі змінних, що входять до неї нерегулярно; 5)розгляд наступних двох формул, одержаних з формули, яка не містить змінних, що входять до неї нерегулярно, якщо:

а)замість однієї змінної, яка регулярно входить до формули, в усіх місцях слід підставити і (логічне значення — «істина») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 43, 47—

50;

43

б)замість тієї ж змінної на всіх місцях підставити букву х (логічне значення — «хиба») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 44, 47—50.

До формул а і б, якщо це можливо, знову застосовують пункти 2—4, а потім, згідно з пунктом 5, з формул а і б одержують відповідно формули аа, аб, ба і бб тощо, доки не вичерпані можливості застосування пунктів 2—5.

Якщо в результаті застосування цієї процедури до будь-якої формули А всі заключні формули набудуть значення і («істина»), то формула А є «завжди істинною», а якщо хоча б одна заключна формула набуде значення х («хиба»), то формула А не є «завжди істинною» Кон'юнктивна нормальна форма

Кон'юнктивна нормальна форма формул логіки висловлювань є кон'юнкцією елементарних диз'юнкцій. Елементарною диз'юнкцією є формула, що має такий вигляд: A1vA2v...vAn, де п>1, а кожна з формул Ар А2, ..А є змінною або запереченням змінної. Так, формула (pvqvrvs) є елементарною диз'юнкцією, чого не можна сказати про формулу (pvqv(pAr)vs), оскільки третій її диз'юнкт (рлг) не є ні змінною, ні запереченням змінної.

Елементарна диз'юнкція є «завжди істинною» тоді і лише тоді, коли в ній міститься принаймні одна пара диз'юнктів, з яких один є якоюсь змінною, а другий — її запереченням. У цьому неважко переконатися, побудувавши відповідну таблицю істинності: пара названих диз'юнктів забезпечить наявність «і» (істина) в кожному рядку цієї таблиці, що є достатньою підставою для визнання подібної Диз'юнкції «завжди істинною» формулою, тобто законом логіки.

Формула логіки висловлювань має кон'юнктивну нормальну форму тоді, коли вона має такий вигляд: В,лВгл...лВт, де Вг В2,...Вп_ — елементарні диз'юнкції і

т>1. Так, формула pA(qvr)A(qvp) має кон'юнктивну нормальну форму (кон'юнкт р слід розглядати як вироджену диз'юнкцію з одним диз'юнктом).

Будь-яку формулу логіки висловлювань з допомогою ряду рівносильних замін можна звести до кон'юнктивної нормальної форми. Формулу, що є рівносильною даній і має кон'юнктивну нормальну форму, називають кон'юнктивною нормальною формою даної формули.

Щоб звести формулу до кон'юнктивної нормальної форми, треба насамперед з допомогою відповідної процедури звести її до нормальної форми. А потім кожну підформулу, що має вигляд (pv(qAr)) згідно з рівно-сильністю 6 і кожну підформулу типу ((qA.r)vp) згідно з рівносильністю 6' замінити формулою ((pvq)A A(pvr)). Річ у тім, що формула має кон'юнктивну нормальну форму лише за умови, що вона, поперше, має нормальну форму, а по-друге, не містить у собі під-формул типу (pv(qAr)) і ((qAr)vp).

Розглянемо зведення формули до кон'юнктивної нормальної форми на такому прикладі: (р—хі)— >(р~А~г).

1.Застосувавши до цієї формули правило усунення імплікації (при цьому підформулу (р—щ) будемо розглядати як антецедент (А), а підформулу (рХг) — як консеквент (В) імплікації А—>В, одержимо: (p- q)v v(pAq).

2.Застосувавши правило усунення імплікації, яка є в першому диз'юнкті цієї формули (при цьому як антецедент виступає р, а як консеквент — q), одержимо:

(pVq)v(pAT).

3.Вдавшись до рівносильності 11 (другого закону де Моргана) і зробивши відповідну заміну першого диз'юнкта цієї формули, одержимо: (p=Aq~)v(pAr).

4.Застосувавши рівносильність 10 (перший закон де Моргана) до другого диз'юнкта формули,

одержимо: (p=Aq~)v(pvr).

5.Звернувшись до першої рівносильності, правила усунення подвійного заперечення, одержимо:

(pAq)v(pvr).

6.Остання заміна згідно з рівносильністю 6' ((BAC)VA): (pvpvT)A(qvpvr). Далеко не всі формули мають лише одну кон'юнктивну нормальну форму.

Формула логіки висловлювань в КНФ є «завжди істинною» тоді, коли кожен її кон'юнкт, тобто кожна елементарна диз'юнкція, містить у собі принаймні одну змінну одночасно зі знаком заперечення і без нього. В тому, що формула, зведена до КНФ, є «завжди істинною», можна переконатися за її зовнішнім виглядом. Так, оскільки кожен кон'юнкт формули (pvqvp)A(pvqvq~)A(pvrvqvr) містить змінну зі знаком заперечення і без нього, то вона є «завжди істинною».

З допомогою КНФ визначають, є дана формула «завжди істинною» чи ні, а також чи є формула В логічним наслідком із формул Ар А2,..Лп.

Щоб перевірити, чи є довільна формула В наслідком із формул А[ГА2, ~Ап, треба приєднати В через імплікацію до формул Аг А2, ~Ап, і одержаний вираз звести до КНФ. Якщо одержана КНФ буде «завжди істинною», то це засвідчить, що В випливає з_А;, А,..., Ап.

44

Перевіримо, чи випливає В з формул В —>А, А як засновків. Поєднаємо ці засновки кон'юнкцією і приєднаємо до них В з допомогою імплікації: ((В—>А)лА)—>В.

6.Застосувавши першу рівносильність, одержимо ((AVB)A(AVA))VB.

7.Усунувши JCOH'IOHKT, ЯКИЙ містить змінну та її заперечення (AvA), одержимо AvBvB. Оскільки ця формула є елементарною диз'юнкцією, яка містить змінну (В) і її заперечення (В), то це означає, що вихідна формула є «завжди істинною». Тому формула В є наслідком із формул В—*А і А.

Розрізняють ще досконалу кон'юнктивну нормальну форму (ДКНФ) і скорочену кон'юнктивну нормальну форму (СДНФ), з допомогою яких розв'язують задачі на знаходження всіх логічних наслідків з даної формули.

Диз'юнктивна нормальна форма Диз'юнктивна нормальна форма формул логіки висловлювань є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій.

Елементарною кон'юнкцією є формула, що має такий вигляд: А1лА2л...лА , де п>1, а кожна з формул Ар А2, ..., Ап є змінною, або запереченням змінної. Так, формула (рлс[лглд) є елементарною кон'юнкцією, чого не можна сказати про формулу (дл(дуг)лрлг), оскільки другий її кон'юнкт не є ні змінною, ні запереченням змінної.

Елементарна кон'юнкція є «завжди хибною» тоді й тільки тоді, коли до її складу входить принаймні одна пара кон'юнктів, з яких один є якоюсь змінною, а другий — її запереченням.

Формула логіки висловлювань має диз'юнктивну нормальну форму тоді, коли вона має такий вигляд: В vB2v...vBm, де Вр В2..„ Вт є елементарними кон'юнк-щями, а т>1. Наприклад: (pXqAr)vp~v(qAr). Будь-яку формулу логіки висловлювань з допомогою відповідних рівносильних замін можна звести до диз'юнктивної нормальної форми. Формулу, що є рівносильною даній і має диз'юнктивну нормальну форму, називають диз'юнктивною нормальною формулою даної формули. Щоб звести формулу до ДНФ, необхідно насамперед звести її до нормальної форми, а потім кожну під-формулу типу (AA(BVCJ) згідно з рівносильністю 7 і кожну підформулу типу ((BVC)AA) згідно з рівносильністю Т замінити формулою ((AAB)V(AAC)).

Розглянемо процедуру зведення формули до диз'юнктивної нормальної форми на такому прикладі: 1.Застосувавши до цієї формули правило усунення імплікації (при цьому підформулу р будемо розглядати як антецедент, а підформулу ((p—>q)—>q) — як кон-секвент), одержимо: pv((p—>q)—>q). 2.Знову вдавшись до правила усунення імплікації (на цей раз роль антецедента виконує підформула (р—щ), а консеквента — q, одержимо: pv((p—>q)vq)-

3.Застосувавши правило усунення імплікації (антецедент — р, а консеквент — q), одержимо: pv((pq)vq). 4.Використавши другий закон де Моргана, одержимо: pv((pAq)vq).

5. Залишається лише усунути подвійне заперечення і зайві дужки: p~v(pAq)vq. Формула може мати не одну ДНФ.

З допомогою ДНФ з'ясовують, по-перше, є дана формула «завжди хибною» чи ні, а по-друге, чи є та чи інша формула наслідком з відповідних засновків.

Формула, що має ДНФ, є «завжди хибною» тоді й тільки тоді, коли «завжди хибними» є всі її диз'юнкти, тобто коли кожна елементарна кон'юнкція містить у собі принаймні одну пару кон'юнктів, один з яких є якоюсь змінною, а другий — її запереченням. Таким чином, за виглядом елементарної кон'юнкції можна робити висновок, є вона «завжди хибною» чи ні. Так, формула ((pAqAp)v(qAq)v(pAqArAr)) є «завжди хибною», оскільки загалом вона є диз'юнкцією, кожен диз'юнкт якої (елементарна кон'юнкція) є «завжди хибним».

Розрізняють ще досконалу диз'юнктивну нормальну форму (ДДНФ) і скорочену диз'юнктивну нормальну форму (СДНФ), кожна з яких дає змогу розв'язувати відповідні задачі.

6.1. Безпосередні умовиводи

Безпосередній умовивід — умовивід, до складу якого входить лише один засновок (і, звичайно ж, — висновок).

Оскільки його засновок виражається судженням, то цей вид умовиводу здійснюється у формі перебудови судження. За способом перебудови судження-зас-новку розрізняють такі види безпосередніх умовиводів: перетворення, обернення, протиставлення предикатові, протиставлення суб'єктові.

45

Перетворення — перебудова судження, внаслідок якої з вихідного утворюють нове рівнозначне судження, але протилежної якості: стверджувальне судження перетворюється на заперечне, а заперечне

— на стверджувальне.

Підставою для одержання висновку за схемою перетворення виступає закономірність відношення обсягів двох суперечних понять, які є предикатами стосовно одного й того ж суб'єкта, будь-які два видових суперечних поняття завжди вичерпують обсяг відповідного родового поняття. Якщо обсяг суб'єкта входить до обсягу предиката Р, то звідси випливає, що він не входить до обсягу предиката не-Р, і навпаки. Так, виходячи з того, що ссавці належать до хребетних, з необхідністю доходимо висновку, згідно з яким ссавці не належать до нехребетних (безхребетних).

У кожному стверджувальному судженні («S є Р») безпосередньо виражається тотожність предметів класу S з множиною інших предметів в ознаках, характерних для предметів класу Р. Та разом з названою тотожністю в цьому судженні неявно стверджується і відмінність від усіх предметів, які не належать до класу Р. А в заперечному судженні («S не є Р») безпосередньо виражається відмінність предметів класу S від усіх предметів класу Р, а тим самим опосередковано визнається тотожність предметів S з усіма предметами ue-Pv Тобто завдяки перетворенню у стверджувальному судженні виявляється відношення відмінності, а в заперечному — відношення тотожності, які неявно мис-ляться в названих типах суджень.

Не випадково, що одна і та сама схема (див. схему 18) одночасно ілюструє і судження «Всі ссавці — хребетні», і судження «Жоден (всі) ссавець не є нехребетним».

Перше ілюструється сумісністю понять «ссавці» і «хребетні», а друге — несумісністю понять «ссавці» і «нехребетні (безхребетні)».

Перетворення суджень типу А, Е, І, О відбувається за такими схемами: А. Всі S є Р. Отже, жодне S не є не-Р. Всі метали — електропровідні. Отже, жоден метал не є неелектропровідним.

Е. Жодне S не є Р. Отже, всі S є не-Р. Жоден патріот не є зрадником. Отже, кожен патріот є незрадником.

І. Деякі S є Р. Отже, деякі S не є не-Р. Деякі числа — прості. Отже, деякі числа не є непрості.

О. Деякі S не є Р. Отже, деякі S є не-Р. Деякі числа не є прості. Отже, деякі числа є непрості.

Здійснюючи перетворення судження, необхідно змінити його якість, залишивши без змін кількість. Замінивши зв'язку «є» на «не є», домагаємося перетворення стверджувального судження на заперечне. Але одержане судження виявляється нерівнозначним вихідному. Щоб нейтралізувати вказаний вплив частки «не», треба ввести ще одну аналогічну частку, приєднавши її до імені, яким позначається предикат висновку. Внаслідок такої процедури предикатом висновку стає поняття, суперечне предикатові засновку. А замінивши зв'язку «не є» заперечного судження-засновку на «є», домагаємося перетворення заперечного судження на стверджувальне. Але при цьому знову змінюється зміст вихідного судження. Вихід тут один: до імені, яким позначається предикат висновку, слід додати частку «не», тобто знову-таки предикат засновку замінюється у висновку на суперечне йому поняття.

Під збереженням кількості судження мають на увазі, що загальностверджувальне судження перетворюється на загальнозаперечне (і навпаки), а частково-стверджувальне — на частковозаперечне (і навпаки). Безпосередньо ж це виявляється в збереженні тих самих кванторів (чи відповідних кванторних слів).

Результат перетворення можна знову перетворити на вихідне судження. Ця закономірність виражається таким правилом: подвійне заперечення будь-чого рівносильне ствердженню того ж самого.

Наприклад:

Київ — столиця України.

Отже, Київ не є нестолицею України.

Отже, Київ є не нестолицею України (що рівнозначно судженню: «Київ — столиця України»). Обернення — перебудова судження, внаслідок якої суб'єкт і предикат міняються місцями. При цьому якість судження зберігається, а кількість може змінюватися.

Основою для обернення є, зокрема, та обставина, що в судженні містяться знання про предмети, які мисляться як у суб'єкті, так і в предикаті. Внаслідок обернення змінюється предмет думки.

Наприклад:

Всі метали — електропровідні.

Отже, деякі електропровідні — метали.

Предметом думки в засновку були метали, а у висновку — електропровідні (схема 19).

46

В-обох судженнях мислиться тільки те, що передається на схемі заштрихованою її частиною. У першому судженні обсяг поняття «метали» (менший круг на схемі) ототожнюється з частиною обсягу поняття «електропровідні» (на схемі — та частина більшого круга, яка закрита меншим). А в другому судженні (висновку) — навпаки.

Здійснюючи обернення, необхідно дотримуватися вимоги рівності обсягів термінів: обсяги термінів висновку повинні дорівнювати обсягам відповідних термінів засновку. Правда, сама структура судження не завжди чітко виражає характер обсягу термінів. Це стосується передусім предикатів стверджувальних суджень.

Традиційно розрізняють два види обернення: просте, або чисте, і обернення з обмеженням. Проте такий поділ має штучний характер.

Розглянемо, як здійснюється обернення суджень, різних за кількістю і якістю (А, Е, І, О).

1.Загальностверджувальне судження (А) перебудовується при оберненні, як правило, на частковостверджувальне.

Наприклад:

Всі метали — електропровідні (А).

Отже, деякі електропровідні — метали (/).

Деякі загальностверджувальні судження перебудовуються при оберненні на загальностверджувальні. Це стосується виділяючих суджень.

Наприклад:

Всі люди, і тільки люди, — мислячі істоти (А). Отже, всі мислячі істоти — люди (А).

Хоч названі приклади обернень і не суперечать вимогам логіки, проте їх не можна вважати зразковими, оскільки в їх висновках втрачається частина знань, які мали місце в засновках. Щоб не зазнати цієї втрати, обернення слід здійснювати так: «Всі метали електропровідні. Отже, деякі електропровідні, і лише вони, — метали». Це стосується і другого прикладу.

2.Загальнозаперечне судження (Е) обертається на загальнозаперечне.

Наприклад:

Жоден патріот не відмовляється від культури свого народу (£).

Отже, жоден з тих, хто відмовляється від культури свого народу, не є патріотом (Е).

3.Частковостверджувальне судження (І) при оберненні, як правило, перебудовується на частковостверджувальне.

Наприклад:

Деякі вчені — митці (/). Отже, деякі митці — вчені (І).

Зрідка частковостверджувальні судження перебудовуються при оберненні на загальностверджувальні. Це стосується виділяючих суджень.

Наприклад:

Деякі люди, і тільки люди, мають високу мораль. Отже, всі, хто має високу мораль, — люди.

4.Обернення частковозаперечного судження дає бідні, невизначені знання, тому до обернення суджень цього виду практично не вдаються.

Наприклад:

Деякі птахи не хижаки (О).

Отже, жоден хижак не належить до птахів-нехи-жаків (Е).

Протиставлення — перебудова судження, в ході якої одночасно здійснюються і перетворення, і обернення в тій чи іншій послідовності.

Якщо судження спочатку перетворюється, а потім обертається, то такий умовивід називається протиставленням предикатові. А якщо судження спочатку обертається, а потім перетворюється, то тоді ми маємо справу з протиставленням суб'єктові.

При протиставленні предикатові суб'єкт вихідного судження стає предикатом висновку, а суб'єктом висновку виступає поняття, суперечне предикатові вихідного судження (засновку).

Розглянемо, як здійснюється протиставлення предикатові в судженнях типу А, Е, І, О.

1.Загальностверджувальне судження (А) перебудовується за схемою «Всі S є Р. Отже, жодне не-Р не є

S».

Наприклад:

Всі квадрати — паралелограми (А).

47

Отже, жоден непаралелограм не є квадратом (Е).

Здійснимо цю логічну операцію шляхом послідовного застосування перетворення і обернення: Всі квадрати — паралелограми (А).

Отже, жоден квадрат не є непаралелограмом (Е). Отже, жоден непаралелограм не є квадратом (£).

Схема 20 показує, що обсяг поняття «квадрат» несумісний з обсягом поняття «непаралелограм».

2.Загальнозаперечне судження (Е) перебудовується за схемою «Жодне S не є Р. Отже, деякі не-Р є S». Наприклад: Жодне просте число не ділиться на чотири (Е).

Отже, принаймні деякі числа, що не діляться на чотири, є простими (/). Послідовно застосувавши перетворення і обернення, одержимо: Жодне просте число не ділиться на чотири (Е).

Отже, кожне просте число є тим, що не ділиться на чотири (А).

Отже, принаймні деякі числа, які не діляться на чотири, є простими (/).

3.Перебудова частковостверджувального судження (І) у формі протиставлення предикатові дає бідне, невизначене знання, тому до неї практично не вдаються.

4.Частковозаперечне судження перебудовується у формі протиставлення предикатові за схемою «Деякі S не є Р. Отже, деякі не-Р є S».

Наприклад:

Деякі ссавці не є хижаками (О). Отже, деякі нехижаки є ссавцями (/).

Як видно із відповідних схем і прикладів, при протиставленні предикатові якість усіх суджень змінюється.

При протиставленні суб'єктові предикат вихідного судження стає суб'єктом висновку, а предикатом висновку береться поняття, суперечне суб'єктові засновку. При цьому якість судження завжди змінюється.

Розглянемо, як здійснюється протиставлення суб'єктові в судженнях, різних за кількістю і якістю (А, Е,

І, О).

Протиставлення суб'єктові відбувається за різними схемами в судженнях різного типу (А, Е, І, О):

1.Загальностверджувальне — «Всі S є Р. Отже, деякі (жоден) Р не є не-S»: «Всі квадрати є ромбами. Отже, деякі ромби не є неквадратами».

2.Загальнозаперечне — «Жоден S не є Р. Отже, всі Р є не-S»: «Жоден ромб не є трикутником. Отже, всі трикутники є неромбами».

3.Частковостверджувальне — «Деякі S є Р. Отже, деякі (жоден) Р не є не-S»: «Деякі студенти — спортсмени. Отже, деякі спортсмени не є нестудентами».

4.Частковозаперечне судження, як правило, не піддається перебудові за схемою протиставлення суб'єктові, оскільки така операція малоефективна.

До безпосередніх часто відносять і деякі інші різновиди умовиводів, зокрема контрапозицію просту (її формулаА-В-ґ-В-Аті умовиводи, в основі яких лежить характер відношень між судженнями за «логічним квадратом» тощо.

Безпосередні умовиводи мають певне пізнавальне значення, а їх осмислення підвищує логічну культуру людини. Назвемо кілька аргументів для підтвердження цієї тези (і водночас спрямованих проти тих, хто скептично ставиться до цієї гранично простої, але «філігранної» форми міркування).

Безпосередні умовиводи (йдеться про різні види перебудови судження) дають можливість:

— одержати нову інформацію (вивідне знання) на основі мінімальної кількості вихідних знань — одного простого судження;

— виявити ті знання, які містяться в судженні неявно;

— уточнити співвідношення обсягів суб'єкта і предиката;

— чітко усвідомити, яка інформація є в судженні, а якої немає;

— тонко схопити майже невловимі нюанси думок. Знання секретів перебудови суджень ефективно

«спрацьовує», зокрема в умовах особистісного спілкування, що вимагає особливої делікатності. Навіть уміння здійснювати обернення частковозаперечних суджень, перебудовувати частковостверджувальні судження за схемою протиставлення предикатові і частковозаперечні за схемою протиставлення суб'єктові (за всієї мізерності одержуваної завдяки їм інформації) не залишається безслідним для того, хто збагнув тонкощі цих логічних процедур.

Кожен вид безпосередніх умовиводів має і своє специфічне значення. Так, до операції перетворення вдаються, зокрема, в ситуації, коли у стверджувальному судженні важливо підкреслити відношення

48

відмінності, а в заперечному — відношення тотожності для того, щоб надати думкам відповідного відтінку, уточнити їх.

Опанування операцією обернення дає можливість чіткіше збагнути обсяги суб'єкта і предиката судження, відношення обсягів цих термінів, усвідомити, яка інформація справді має місце в судженнізасновку, а якої немає, але вона невиправдано домислюється нами.

Щоб збагнути новизну знань, одержуваних за допомогою безпосередніх умовиводів, варто звернутися До відповідних прикладів. Так, ніхто не буде заперечувати, що між судженням-засновком «Я можу бути лікарем» і судженням-висновком (за схемою перетворення) «Я не можу не бути лікарем» існує істотна відмінність.

6.2. Опосередковані дедуктивні умовиводи

До складу опосередкованих дедуктивних умовиводів можуть входити різні за відношенням судження: тільки категоричні (простий категоричний силогізм), тільки розділові (суто розділовий умовивід), тільки умовні (суто умовний умовивід) та різні комбінації цих суджень, які загалом становлять відповідні різновиди розділових та умовних умовиводів.

Простий категоричний силогізм Простий категоричний силогізм — опосередкований дедуктивний умовивід, що складається з двох

засновків (посилок) і висновку, які є категоричними судженнями.

Так, умовивід «Всі паралелограми — чотирикутники, а ромби — паралелограми; отже, ромби — чотирикутники» — типовий приклад категоричного силогізму, бо цей умовивід дедуктивний, оскільки в ньому з більш загальних положень одержують менш загальні, а засновки і висновок цього умовиводу є категоричними судженнями.

Аксіома силогізму. Хоч силогізм має чимало виявів, модифікацій, та в його основі лежить загальне правило, яке називають аксіомою силогізму. Є кілька формулювань цієї аксіоми:

1)те, що належить роду, належить також виду та індивіду;

2)ознака ознаки речі є ознакою самої речі;

3)все, що стверджується (або заперечується) стосовно певної множини предметів, стверджується (або заперечується) стосовно будь-якого предмета, який належить до цієї множини.

Будова простого категоричного силогізму Оскільки до складу простого категоричного силогізму входять три простих судження, то звідси

випливає висновок, що цей силогізм складається з шістьох термінів. Проте при ближчому ознайомленні з ним виявляється, що до його складу входять лише три терміни, кожен з яких двічі повторюється. У цьому можна пересвідчитися, звернувшись до наведеного вище прикладу.

Неважко помітити, що в засновках є всі три терміни, які фігурують у силогізмі, а один термін навіть двічі повторюється (у нашому прикладі — «паралелограм»).

Термін, який повторюється в засновках і пов'язує їх між собою, називають середнім, два інших терміни

— крайніми.

Ширший за обсягом крайній термін називають більшим (він виконує у висновку роль предиката), а вужчий за обсягом крайній термін — меншим (він виконує у висновку роль суб'єкта).

Засновок, до складу якого входить більший термін, називають більшим, а засновок, до складу якого входить менший термін — меншим.

Беручи до уваги саме таку будову простого категоричного силогізму та роль у ньому середнього терміна, його визначають і так:

— «Простий категоричний силогізм є умовивід про відношення двох термінів на підставі їх відношення до третього терміна»

— «Силогізм — це такий умовивід..., в якому встановлюється зв'язок між крайніми термінами у висновку на підставі їх відношення до середнього терміна в засновках» Ознайомившись зі структурою силогізму, зокрема запам'ятавши, що висновок у ньому робиться з

крайніх термінів, можна піддатись ілюзії, ніби вже осягнуто всі секрети побудови силогізму. Вона підсилюється тим, що для побудови правильного міркування у формі простого категоричного силогізму часто достатньо знати його структуру, місце і роль кожного терміна. Так, маючи засновки «Всі метали

— електропровідні, а ртуть — метал» і знаючи, який із цих термінів є середнім, а які — крайніми, можна зробити висновок: «Отже, ртуть — електропровідна». Суб'єкт висновку беруть з меншого засновку, а предикат — з більшого. Висновок є стверджувальним судженням, бо обидва засновки є стверджувальними.

Проте трапляються випадки (і нерідко!), які свідчать про те, що секрети силогізму не вичерпуються знанням його будови. Так, силогізм «Всі люди дихають киснем, а земноводні не люди, отже, вони не

дихають киснем» побудовано з урахуванням місця та ролі термінів. Безглуздість змісту цього

49

висновку очевидна, а тому, враховуючи, що обидва засновки силогізму істинні, неважко здогадатися про логічну недосконалість наведеного умовиводу. Щоб не припускатися подібних помилок, необхідно знати й уміти застосовувати численні правила силогізмів: стосовно термінів, правила засновків та фігур силогізму.

Правила термінів 1. Термін, який є нерозподіленим у засновку, не може бути розподіленим у висновку.

Саме це правило порушене у наведеному вище прикладі. Більший термін «ті, хто дихає киснем» був нерозподіленим у засновку (як предикат стверджувального судження), а у висновку став розподіленим (як предикат заперечного судження). Цей силогізм неправильний, бо неналежність земноводних до людей не є достатньою підставою для твердження, ніби земноводні не належать до тих, хто дихає киснем, оскільки «ті, хто дихає киснем» є поняттям родовим стосовно поняття «людина».

Помилки цього типу називають «недозволеним розширенням більшого терміна», оскільки в засновку він мислився не в повному обсязі, а у висновку — в повному. При порушенні правила силогізму щодо крайнього терміна трапляється й помилка «недозволеного розширення меншого терміна».

Хибність цього силогізму можна довести і шляхом графічного зображення співвідношення обсягів його термінів. Для цього досить вказати на дві можливості такого зображення, наведені на схемі 21.

Поняття «земноводні», крім вказаних на схемі випадків, можна розглядати ще й так: як перехресне стосовно «тих, хто дихає киснем»; як таке, обсяг якого разом з обсягом поняття «людина» повністю вичерпує обсяг поняття «ті, хто дихає киснем»; як таке, в якому мисляться не тільки всі, хто дихає киснем, крім людей, але й ті, хто не дихає киснем (принаймні деякі з них) тощо.

2. Середній термін неодмінно має бути розподіленим принаймні в одному із засновків.

Якщо він нерозподілений, однозначно визначити відношення між крайніми термінами (тобто між, суб'єктом і предикатом висновку) неможливо. Так, у силогізмі «Всі адвокати — юристи, і прокурори — юристи; отже, прокурори є адвокатами» порушено правило щодо розподіленості середнього терміна. Середній термін повинен бути поняттям видовим щодо більшого терміна і родовим стосовно меншого терміна. У наглому ж прикладі поняття «юрист» (середній термін) є родовим стосовно більшого терміна. Про неправильність цього силогізму свідчить і графічне зображення відношення обсягів його термінів. На схемі 22 вказано лише два із багатьох можливих випадків.

3. Кожен силогізм повинен мати три, і тільки три, терміни.

Порушення цього правила веде до логічної помилки, яка називається «почетверінням термінів». Ця помилка є одним із виявів порушення закону тотожності. Однією з обставин, яка сприяє припущенню подібних помилок, є багатозначність деяких слів, зокрема явище омонімії. Прикладом такої помилки може бути силогізм: «Метали — хімічні елементи. Бронза — метал. Отже, бронза — хімічний елемент». Тут під поняттям «метал» у першому засновку розуміють хімічні елементи, а в другому — сплави певних хімічних елементів. Іншими словами, роль середнього терміна тут виконує не одне і те ж поняття. Наведений приклад силогізму, в якому порушується правило щодо кількості в ньому термінів, можна зобразити за допомогою кругової схеми 23.

Та навіть знаючи будову силогізму і правила термінів, не завжди можна відрізнити правильні силогізми від неправильних. Так, силогізм «Жоден громадянин України не бажає ядерної війни. Ця людина не є громадянином України. Отже, вона бажає ядерної війни» відповідає всім наведеним до цього вимогам: висновок тут утворено з крайніх термінів, причому менший з них є суб'єктом висновку, а більший — предикатом; до складу цього силогізму входять лише три терміни; середній і крайні терміни у засновках тут розподілені. І все-таки цей силогізм —неправильний. Щоб з'ясувати причини його неправильності, треба ознайомитися зі змістом ще однієї групи правил силогізму.

Правила щодо засновків силогізму 1. З двох заперечних засновків1 не можна зробити ніякого висновку.

Прикладом порушення цього правила може бути наведений вище силогізм. Графічно відношення між обсягами термінів у ньому можна зобразити так (схема 24):

Неважко переконатися в тому, що середній термін «громадяни України», не пов'язаний з крайніми, не може зв'язати їх між собою, що свідчить про неможливість однозначного висновку з названих засновків. Ілюструючи випадки порушення цього правила, можна звертатися до силогізмів, які включають два змістовних заперечних судження, а також до відповідних модусів (модус — буквене позначення суджень силогізму, яке зберігає їх кількісну та якісну характеристики). Це правило порушується в таких модусах: ЕЕА, ЕЕІ, ЕЕЕ, ЕЕО, ЕОА, ЕОІ, ЕОЕ, ЕОО, ОЕА, ОЕІ, ОЕЕ, ОЕО, ООА, ООІ, ООЕ, ООО.

50