Типові задачі і їх розв’язуваня

1. На складі магазину лежать прості та кольорові олівці. Причому, серед них 20% простих і 80% – кольорових. Допоміжний працівник для передачі продавцеві навмання взяв 100 олівців. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення кількості кольорових олівців.

Розв’язування. Нехай випадкова величина – кількість кольорових олівців серед відібраних. Ця випадкова величина має розподіл Бернуллі. За умовою задачіЗа формулою (3) обчислимо

2. Ймовірність появи події в будь-якому випробуванні однакова і дорівнює 0,25. Відомо, що математичне сподівання випадкової величини, – кількості разів появи події, дорівнюєВизначити середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

Розв’язування. Розглянута випадкова величина має біноміальний розподіл. Оскількиі, то з формулизнаходимоурахувавши, що, знайдемоХоча тут можна було б не знаходити, а відразу в формулу для знаходження середнього квадратичного відхилення підставитиі

3. Дилер фірми постачає покупцям прилади, ймовірність дефекту в кожному з яких дорівнює 0,002. Знайти дисперсію кількості приладів з дефектом у партії із 1500 приладів.

Розв’язування. Нехай випадкова величина – кількість приладів з дефектом. Оскільки кількість таких приладів розподілена за законом Пуассона, тоЗа умовою задачіОтже,

4. В інформаційний центр міської автомобільної інспекції поступає інформація про кількість автопригод на дорогах міста. Ця інформація має розподіл Пуассона з математичним сподіванням 2 повідомлення за годину. Визначити ймовірність того, що протягом однієї години надійде хоча би два повідомлення.

Розв’язування. Нехай – кількість повідомлень, які надійдуть в інформаційний центр міської автомобільної інспекції протягом однієї години. За умовою випадкова величинамає розподіл Пуассона іТому параметрдорівнює 2.

Ймовірність того, що протягом однієї години надійде хоча би два повідомлення, дорівнює Для обчислення невідомих ймовірностей використаємо формулу Пуассона (5).

Остаточно одержимо

5. Поїзди метро їдуть з інтервалом 2 хв. Визначити:

а) ймовірність того, що пасажир, який підійшов на перон буде чекати черговий поїзд менше 30 сек.;

б) середній час очікування і дисперсію часу очікування.

Розв’язування. Якщо позначити через – час очікування поїзда, то можна приблизно вважати, що ця випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку.

а) Отже, за умовою (2 хв. = 120 сек.). Тепер за формулою (12) одержимо

б) Середній час очікування оцінимо за допомогою математичного сподівання. Тому використаємо формули (14), де

хв.,

Якби ми а і в виражали в секундах, то в секундах виражались би математичне сподівання і дисперсія.

6. Дослідження показали, що річні заощадження на одну особу для осіб старших за двадцять років нормально розподіляються з середньою величиною 2100 грн. і середнім квадратичним відхиленням 400 грн. Якщо особу старше за двадцять років вибирати випадково, то яка ймовірність, що протягом року особа мала заощадження:

а) менше, ніж 900 грн. ?

б) більше, ніж 2500 грн. ?

в) від 1500 грн. до 3000 грн. ?

г) менше, ніж 1700 грн. ?

Розв’язування. Річні заощадження на одну особу для осіб старших за двадцять років є випадковою величиною , яка нормально розподілена зіДля знаходження шуканих ймовірностей використаємо формулу (22)

і формули (6.5) з попереднього розділу.

а) 

б) 

в) 

г) 

7. Деталь, виготовлена автоматом, вважається стандартною, якщо відхилення її контрольованого розміру від номіналу не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення контрольованого розміру від номіналу мають нормальний закон розподілу з параметрами Скільки відсотків стандартних деталей випускає автомат ?

Розв’язування. Отже, випадкова величина – відхилення контрольованого розміру від номіналу. Скористаємось формулою (23)

При матимемо

Отже, автомат виготовляє приблизно 95% стандартних деталей.

8. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини , яка розподілена за законом

Розв’язування. З умови задачі видно, що випадкова величина має показниковий розподіл з параметромОтже, за формулою (18) знайдемо

.

9.  Середній час обслуговування автомобіля на автозаправній станції дорівнює 4 хв. Визначити ймовірність того, що автомобіль простоїть у черзі від чотирьох до восьми хвилин.

Розв’язування. Неперервна випадкова величина , що дорівнює часу обслуговування покупця має показниковий розподіл. Оскільки, тоТепер, на підставі формули (17) для, одержимо

10. Дисперсія неперервної розподіленої за показниковим законом випадкової величини дорівнює. Обчислити значення функції розподілу цієї величини в точці.

Розв’язування. Спочатку знайдемо параметр розподілу За умовою задачіТомуЗвідси. Знаходимо значення функції розподілу в точці