§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Определение:ПустьL– заданноеn-мерное линейное пространство. Ненулевой векторLназываетсясобственным векторомлинейного преобразования А, если существует такое число, что выполняется равенство:

A(7.1)

При этом число называетсясобственным значением (характеристическим числом)линейного преобразования А, соответствующего вектору.

Перенеся правую часть (7.1) в левую и принимая во внимание соотношение , перепишем (7.1) в виде

(7.2)

Уравнение (7.2) эквивалентно системе линейных однородных уравнений:

(7.3)

Для существования ненулевого решения системы линейных однородных уравнений (7.3) необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

|A-λE|=(7.4)

Этот определитель является многочленом n-ой степени относительно λ и называется характеристическим многочленомлинейного преобразования А, а уравнение (7.4) -характеристическим уравнением матрицы А.

Определение:Если линейное преобразование А в некотором базисе,,…,имеет матрицу А =, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни₁,₂, … ,_nхарактеристического уравнения:

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна. Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А.

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁и х₂не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением, где- корень характеристического уравнения, а х₁и х₂– корни системы уравнений при подстановке в нее значения.

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением.

Действительно,. Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемоесобственное направление илисобственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня ₁и₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет двесобственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня₁=₂=, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называетсяпреобразованием подобия.

Пример.Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Пример.Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

²- 4+ 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: ₁=₂= 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ =0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты:(t; t)гдеt- параметр.

Собственный вектор можно записать: .

Рассмотрим другой частный случай. Если- собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃– компоненты этого вектора в некотором базисе, то

,

где - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно . Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример.Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А =.

Пример.Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А =.

Составим характеристическое уравнение:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+² - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )(² - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

-3² + 9-³ + 3² - 8= 0

-³+= 0

₁= 0;₂= 1;₃= -1;

Для ₁= 0:

Если принять х₃= 1, получаем х₁= 0, х₂= -2

Собственные векторы t, гдеt– параметр.

Аналогично можно найти идля₂и₃.