2.5. Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності

Для того щоб оцінити вірогідність економетричної моделі, потрібно насамперед мати дисперсію залишків . Оцінюючи параметри моделі методом 1МНК, ми висунули гіпотезу про те, що дисперсія залишків є незмінною для всіх спостережень. Знайдемо її значення.

Фактичні значення залежної змінної згідно з моделлю (2.17) можна подати так:

Y_i = a₀ + a₁X_i + u_i .(2.23)

Запишемо цю модель для середніх значень, знайдених на підставі спостережень:

(2.24)

Віднімемо співвідношення (2.24) від (2.23):

Замінивши ,, дістанемо:

Оскільки для розрахункових значень залежної змінної, то залишки можна подати так:

Величина залишків в даному разі визначає відхилення розрахункового значення залежної змінноївід фактичного за умови, що всі змінні моделі (і) взяті як відхилення від свого середнього значення.

Сума квадратів залишків визначатиметься у вигляді

Знайдемо математичне сподівання для кожної складової правої частини суми квадратів залишків:

1) ;

2) ;

3)

Остаточно маємо:

Звідси

де — незміщена оцінка істинного значення.

Досі ми не робили інших припущень про розподіл залишків u_i, крім того, що середнє значення його дорівнює нулю, дисперсія є сталою і коваріації також дорівнюють нулю:

Y_i = a₀ + a₁X_i + u_i ,(2.25)

M(u_i)= 0;

У (2.25) параметри a₀,a₁ібули невідомими, і згідно з методом 1МНК спочатку знайдено оцінки параметріві, а далі на підставі залишківu_iобчислено їх дисперсію.

Якщо задати певну функцію закону розподілу залишків, то, скориставшись методом максимальної правдоподібності, можна одночасно знайти оцінку всіх трьох параметрів a₀,a₁і.

Нехай залишки розподілені за нормальним законом. тоді функція правдоподібності подається у вигляді

Оскільки співвідношення Y_i = a₀ + a₁X_i + u_iзадає лінійне перетворення залишківu_iвY_i , де, то функція правдоподібності буде така:

і

Дана функція містить невідомі параметри ,,. Тильда “~” над оцінками цих параметрів відрізняє їх від оцінок,, і, знайдених методом 1МНК, а також від істинних значень параметрівa₀,a₁і.

Продиференціюємо цю функцію за невідомими параметрами ,,, тобто знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Після елементарних перетворень система рівнянь запишеться так:

(2.26)

Порівнюючи систему (2.26) із системою (2.19), здобутою за методом 1МНК, бачимо, що перші два рівняння (2.26) такі самі, як рівняння системи (2.19), а третє рівняння системи (2.26) дає формулу оцінки дисперсії залишків.

У даному разі неважко переконатись, що оцінки параметрів іза методом максимальної правдоподібності повністю збігаються з оцінками 1МНК.

Отже, якщо параметри моделі іє лінійними функціями від залишківu_i, які задовольняють багатовимірний нормальний розподіл, то оцінки їх за методами 1МНК і максимальної правдоподібності збігаються. Тому оцінкиітакож є нормально розподіленими, і математичним сподіванням їх є параметриa₀іa₁. З третього рівняння системи (2.26) маємо:

.

Параметр, який характеризує співвідношення між невідомою оцінкою дисперсії згідно з методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії, запишеться у вигляді:

.

Він має розподіл зn – 2 ступенями свободи і розподілений незалежно віді. Пізніше ми звернемося до параметра, коли йтиметься про існування довірчих інтервалів для параметрів моделі.